[논문 리뷰] Minimal $P$-symmetric periodic solutions of nonlinear Hamiltonian systems

Shanshan Tang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 14.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 함수의 초평면적, 점점 수렴하는 선형, 그리고 하중평면적 성장 조건 하에서, 일阶 자율 해밀턴계에 대해 최소 $P$-대칭 주기적 해의 존재성을 확립한다. 임계점 이론, 갈레르킨 근사, 마스로프 $P$-지표 반복 부등식을 이용하여, 최소 $P$-대칭 주기 $k\tau$ 또는 $\frac{k\tau}{k+1}$를 가진 비상수 $P$-해의 존재성을 증명하며, 기존 문헌의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper some existence results for the minimal P-symmetric periodic solutions are proved for first order autonomous Hamiltonian systems when the Hamiltonian function is superquadratic, asymptotically linear and subquadratic. These are done by using critical points theory, Galerkin approximation procedure, Maslov $P$-index theory and its iteration inequalities.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴 함수의 다양한 성장 조건 하에서, 일阶 자율 해밀턴계에 대해 최소 $P$-대칭 주기적 해의 존재성을 확립한다.
• 마스로프 $P$-지표 이론과 그 반복 부등식을 통합하여 $P$-대칭 주기의 최소성을 보장함으로써, 이전의 $P$-해 결과를 확장한다.
• 해밀턴 함수가 초평면적, 점점 수렴하는 선형(가능성 있게 비퇴화), 하중평면적일 경우를 분석하여 통합된 존재 조건을 제공한다.
• 변분 방법과 컴actness 추론을 이용하여, 최소 $P$-대칭 주기 $k\tau$ 또는 $\frac{k\tau}{k+1}$를 가진 비상수 $P$-해의 존재성을 증명한다.

제안 방법

• 모든 $t$에 대해 $x(t + \lambda/k) = P x(t)$를 만족하는 $P$-대칭 $C^1$-함수의 공간에서 임계점 이론을 적용하여 $P$-경계값 문제의 해를 찾는다.
• 유한차원 $P$-대칭 함수 부분공간에서 근사해의 수열을 구성하기 위해 갈레르킨 근사 절차를 적용한다.
• 모르스 지표를 추정하고 $P$-대칭 주기의 최소성을 결정하기 위해 마스로프 $P$-지표와 그 반복 부등식을 활용한다.
• 팔라이스-스무스 조건과 최소화 수열의 컴팩턴스를 확보하기 위해 헤시안 $H''(x)$에 대해 양성과 강제성 조건을 부과한다.
• 변분 해석의 링킹 정리(예: 호모로지 링킹)를 사용하여 작용 함수의 임계점 존재성을 확립한다.
• $P$-대칭 주기 정의를 적용한다: $T = \min\{\lambda > 0 \mid x(t + \lambda/k) = P x(t) \text{ for all } t\}$를 통해 최소 해를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 자율 해밀턴계가 최소 $P$-대칭 주기 $k\tau$ 또는 $\frac{k\tau}{k+1}$를 가진 $P$-대칭 주기적 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 마스로프 $P$-지표와 그 반복 부등식은 어떻게 $P$-대칭 주기의 최소성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 해밀턴 함수 $H$의 성장 조건(초평면적, 점점 수렴하는 선형, 하중평면적) 중 어떤 조건이 이러한 최소 해의 존재를 보장하는가?
• RQ4 비퇴화된 행렬 $h_\infty$ 또는 $H^\prime(x)=0$이 원점에서만 성립할 경우, 비상수 $P$-해의 존재를 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 초평면적 $H$의 경우, 조건 (H0)–(H3), (HX1)–(HX3), 및 $(P)_k$ 조건 하에서, 최소 $P$-대칭 주기 $k\tau$ 또는 $\frac{k\tau}{k+1}$를 가진 $P$-해가 존재한다.
• 점점 수렴하는 선형 $H$의 경우, (H0)–(H5), (HX1)–(HX4) 조건 하에 추가로 $\nu_P(h_\infty)$와 $G_\infty(x) = H(x) - \frac{1}{2}(h_\infty x,x)$의 행동에 대한 제약 조건이 있을 때, 그러한 해의 존재가 증명된다.
• 하중평면적 $H$이 (H8)–(H10)를 만족할 경우, 호모로지 링킹과 팔라이스-스무스 조건을 통해 최소 $P$-대칭 주기를 가진 비상수 $P$-해의 존재가 보장된다.
• 조건 $\{x : H^\prime(x) = 0\} = \{0\}$에 의해 해 $x_0$는 비상수이며, 그 모르스 지표는 $i_P(x_0) \leq \dim \ker_{\mathbb{R}}(P - I)$를 만족한다.
• 최소 $P$-대칭 주기는 $k\tau$ 또는 $\frac{k\tau}{k+1}$임을 보였으며, 후자는 마스로프 $P$-지표의 반복 구조에서 기인한다.
• 리우 및 다른 이들의 이전 작업을 일반화하였으며, 비퇴화된 경우를 초월하여 최소 $P$-해의 존재를 확장하였다.