[논문 리뷰] Minimax representation of nonexpansive functions and application to zero-sum recursive games

Marianne Akian, Stéphane Gaubert외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 15.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 미ṅ크옵스키 노름을 사용하여 위상벡터공간 위의 비확장성, 양의 동차 함수에 대한 최소최대 표현을 수립하며, 이러한 함수들이 선형 형식들의 점별 최대값임을 증명한다. 핵심 기여는 제로섬 재귀게임(에버렛의 게임)에서의 쇼플리 연산자를 유한한 행동 집합과 결정적 전이를 갖는 최소최대 사상으로 특성화하는 것으로, 다면체 근사와 비볼록 위험 측도에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that a real-valued function on a topological vector space is positively homogeneous of degree one and nonexpansive with respect to a weak Minkowski norm if and only if it can be written as a minimax of linear forms that are nonexpansive with respect to the same norm. We derive a representation of monotone, additively and positively homogeneous functions on $L^\infty$ spaces and on $\mathbb{R}^n$, which extend results of Kolokoltsov, Rubinov, Singer, and others. We apply this representation to nonconvex risk measures and to zero-sum games. We derive in particular results of representation and polyhedral approximation for the class of Shapley operators arising from games without instantaneous payments (Everett's recursive games).

연구 동기 및 목표

• 일차 동차이면서 약한 미ṅ크옵스키 노름에 관하여 비확장성인 실수값 함수에 대한 일반적인 최소최대 표현을 수립하기.
• ℝⁿ 및 L∞ 공간에서의 단조성, 덧셈 및 양의 동차성 연산자에 관한 기존 결과를 확장하기.
• 이 표현을 제로섬 재귀게임, 특히 즉각적인 지급이 없는 에버렛의 재귀게임에 적용하기.
• 유한한 최소최대 구조를 이용하여 쇼플리 연산자의 다면체 근사 도출하기.
• 비볼록 위험 측도에 대한 새로운 최소최대 표현 제공하기.

제안 방법

• 비대칭적이거나 비강하성인 설정에서 표준 노름의 대체로 약한 미ṅ크옵스키 노름 사용하기.
• 위상벡터공간 위의 비확장성, 양의 동차 함수에 대한 최소최대 표현 정리 증명(정리 3.4).
• 정리 4.3를 통한 ℝⁿ 위의 단조성, 덧셈 및 양의 동차성 연산자에 대한 표현 적용.
• ℓ∞-노름에서의 유한한 ε-넷 구성으로, 최소최대 사상에 의한 쇼플리 연산자 근사하기.
• 각 좌표 맵이 최대 두 개의 양의 성분을 갖는 확률 벡터를 가진 유한한 최소최대 선형 형식의 조합인 다면체 근사 체계 유도하기.
• 연산자의 비확장성과 양의 동차성에 기반하여 근사 오차를 ε 및 ℓ∞-노름에 따라 제한하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상벡터공간 위의 모든 비확장성, 양의 동차 함수는 비확장성 선형 형식들의 최소최대로 표현될 수 있는가?
• RQ2 즉각적인 지급이 없는 제로섬 재귀게임에서 유도되는 쇼플리 연산자의 정확한 특성은 무엇인가?
• RQ3 이러한 연산자는 어떤 구조적 전이 행렬을 갖는 유한한 최소최대 사상으로 근사될 수 있는가?
• RQ4 최소최대 표현을 이용하여 비볼록 위험 측도에 대한 새로운 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ5 연속적인 쇼플리 연산자를 유한한 최소최대 사상으로 대체할 경우의 근사 오차는 얼마인가?

주요 결과

• 위상벡터공간 위의 실수값 함수가 일차 동차이면서 약한 미ṅ크옵스키 노름에 관하여 비확장성일 필요충분조건은 비확장성 선형 형식들에 대한 최소최대 표현을 갖는 것이다.
• ℝⁿ 위의 단조성, 덧셈 및 양의 동차성 연산자는 지급이 최종 단계에서만 발생하는 에버렛의 재귀게임의 쇼플리 연산자로 특성화된다.
• 모든 이러한 연산자는 G_i(x) = min_{a ∈ A^*_i} max_{b ∈ B_{i,a}} ∑_{j=1}^n P_{ij}^{ab} x_j 형태의 유한한 최소최대 사상으로 근사될 수 있으며, 여기서 A^*_i 및 B_{i,a}는 유한하고 각 P^{ab}는 최대 두 개의 양의 성분을 갖는 확률 벡터이다.
• 모든 x ∈ ℝⁿ 및 모든 i에 대해 F_i(x) ≤ G_i(x) ≤ F_i(x) + ε ‖x‖_∞ 를 만족하는 지급 없음 쇼플리 연산자 G가 모든 ε > 0에 대해 존재한다.
• 근사 오차는 ℓ∞-노름에서 단위 구면의 ε-넷 조밀도에 의해 제어되며, 이에 따라 ‖G(x) - F(x)‖_∞ ≤ ε ‖x‖_∞ 라는 경계를 가진다.
• 결과는 비볼록 위험 측도로까지 확장되며, 볼록성 가정 없이도 일관된 위험 측도와 유사한 최소최대 표현 프레임워크를 제공한다.