[논문 리뷰] Minimisation of Deterministic Parity and Buchi Automata and Relative Minimisation of Deterministic Finite Automata

Sven Schewe|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 08.

semigroups and automata theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 결정성 Büchi, Co-Büchi 및 펄스 자동기의 최소화 문제의 NP-완전성을 입증하며, 유한한 수의 접두어에서만 수용 여부가 다를 수 있는 '거의 동치성'—무한 실행에서 수용 행동의 유한한 차이를 허용하는 결정성 유한 자동기(DFA)에 대한 완화된 동치 관계—를 도입한다. 주요 기여는 거의 동치성 하에서 상대적 최소화를 위한 다항시간 알고리즘을 제안하는 것으로, 이는 효율적인 상태공간 축소를 가능하게 하며 강한 연결 성분(SCC) 기반 최적화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this report we study the problem of minimising deterministic automata over finite and infinite words. Deterministic finite automata are the simplest devices to recognise regular languages, and deterministic Buchi, Co-Buchi, and parity automata play a similar role in the recognition of ω-regular languages. While it is well known that the minimisation of deterministic finite and weak automata is cheap, the complexity of minimising deterministic Buchi and parity automata has remained an open challenge. We establish the NP-completeness of these problems. A second contribution of this report is the introduction of relaxed minimisation of deterministic finite automata. Like hyper-minimisation, relaxed minimisation allows for some changes in the language of the automaton: We seek a smallest automaton that, when used as a monitor, provides a wrong answer only a bounded number of times in any run of a system. We argue that minimisation of finite automata, hyper-minimisation, relaxed minimisation, and the minimisation of deterministic Buchi (or Co-Buchi) automata are operations of increasing reduction power, as the respective equivalence relations on automata become coarser from left to right. When we allow for minor changes in the language, relaxed minimisation can therefore be considered as a more powerful minimisation technique than hyper-minimisation from the perspective of finite automata. From the perspective of Buchi and Co-Buchi automata, we gain a cheap algorithm for state-space reduction that also turns out to be beneficial for further heuristic or exhaustive state-space reductions put on top of it.

연구 동기 및 목표

• 결정성 Büchi, Co-Büchi 및 펄스 자동기의 최소화 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 무한 실행에서 수용 행동의 유한한 차이를 허용하는 새로운 동치 관계—거의 동치성—을 DFA에 도입하는 것.
• 거의 동치성 하에서 실행 가능한 최소화 알고리즘을 개발하여 Büchi 및 Co-Büchi 자동기의 추가 상태공간 축소 기반을 마련하는 것.
• 거의 동치성 하에서의 상대적 최소화가 언어 성질을 유지하고 강한 연결 성분(SCC) 기반 최적화를 효율적으로 가능하게 하는지 보여주는 것.
• 이 접근법을 언어 동치성과 조합하여 더 작은 언어 동치 자동기를 도출하고, 이후 최적화를 위한 개선된 구조를 제공할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 무한 단어의 어떤 무한 접두어의 유한한 수에서만 수용 여부가 다를 수 있도록 하는 DFA 간의 관계로 거의 동치성을 정의하며, 각 실행의 거의 모든 위치에서 동치성을 보장한다.
• 두 상태 간 언어의 대칭 차집합의 비공백성을 확인하기 위해 우선순위 함수를 사용하여 수용 차이를 구분하는 결정성 펄스 자동기(DPA)를 구성한다.
• 두 자동기 간의 제품 구성을 통해 언어 차이를 추적하는 DPA를 구축하며, 우선순위는 상태 쌍의 수용 상태에 따라 할당된다.
• 언어 차이가 지속되는 비자명한 성분을 식별하기 위해 SCC 분해를 적용하여 거의 동치 상태를 효율적으로 식별한다.
• Büchi 또는 Co-Büchi 해석을 통해 DFA의 언어 동치성 검사를 통합하여 상태공간을 추가로 축소함으로써 알고리즘을 강화한다.
• 특히 약한 SCC의 경우 SCC들이 상호 독립적으로 처리될 수 있음을 활용하여, 최소화 히ュ리스틱 및 완전 탐색 방법의 최적화를 더욱 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정성 Büchi, Co-Büchi 및 펄스 자동기의 최소화 문제는 NP-완전인가?
• RQ2 무한 실행에서 수용 행동의 유한한 차이를 허용하면서 언어 성질을 유지할 수 있는 DFA에 대한 완화된 동치 관계를 정의할 수 있는가?
• RQ3 이 완화된 동치 관계(거의 동치성) 하에서 실행 가능한 최소화 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 거의 동치 최소화는 Büchi 및 Co-Büchi 자동기의 후속 상태공간 축소 효율성을 향상시키기 위한 사전 처리 단계로 사용될 수 있는가?
• RQ5 강한 연결 성분(SCC)의 구조는 거의 동치 자동기에서 독립적인 최적화를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 결정성 Büchi, Co-Büchi 및 펄스 자동기의 최소화 문제는 NP-완전하므로, 이러한 클래스에 대해 효율적인 정확한 최소화가 불가능하다.
• 거의 동치성은 언어 동치성의 자연스럽고 언어를 유지하는 완화된 형태로, 무한 실행에서 수용 행동의 유한한 차이를 허용한다.
• 거의 동치성 하에서의 상대적 최소화는 DPA 기반 구축을 통해 언어 차이를 탐지함으로써 다항식 시간 내에 수행할 수 있다.
• 최소 거의 동치 자동기는 최소 언어 동치 DFA보다 작거나 같으며, 언어 동치성 검사를 통한 추가 축소가 가능하다.
• 알고리즘은 효과적인 SCC 기반 최적화를 가능하게 한다: 약한 SCC의 경우 모든 상태를 동치로 만들고 병합해도 언어가 변하지 않는다.
• 이 접근법은 히ュ리스틱 및 완전 탐색 최소화 기법(예: 그레디 머지 및 SAT 기반 방법)의 가속화 기반 자료를 제공하며, SCC들을 독립적으로 분리하고 축소함으로써 가능하게 한다.