[논문 리뷰] Minimizing Completion Times of Stochastic Jobs on Parallel Machines is Hard

Benjamin Moseley, Kirk Pruhs외 2명|University of Twente Research Information|2026. 01. 24.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 0

한 줄 요약

본 논문은 두 점 분포와 단위 가중치를 가진 경우에도 병렬 식별 기계에서 확률적 작업의 기대 총 가중 완수 시간의 최소화가 #P-하드임을 입증하고, WSEPT/SEPT 평가가 #P-하드임을 보인다.

ABSTRACT

This paper considers the scheduling of stochastic jobs on parallel identical machines to minimize the expected total weighted completion time. While this is a classical problem with a significant body of research on approximation algorithms over the past two decades, constant-factor performance guarantees are currently known only under very restrictive assumptions on the input distributions, even when all job weights are identical. This algorithmic difficulty is striking given the lack of corresponding complexity results: to date, it is conceivable that the problem could be solved optimally in polynomial time. We address this gap with hardness results that demonstrate the problem's inherent intractability. For the special case of discrete two-point processing time distributions and unit weights, we prove that deciding whether there exists a scheduling policy with expected cost at most a given threshold is #P-hard. Furthermore, we show that evaluating the expected objective value of the standard (W)SEPT greedy policy is itself #P-hard. These represent the first hardness results for scheduling independent stochastic jobs and min-sum objective that do not merely rely on the intractability of the underlying deterministic counterparts.

연구 동기 및 목표

• 확률적 병렬 기계 스케줄링이 결정론적 스케줄링보다 계산적으로 더 어려운지 동기를 부여한다.
• 제한된 두 점 분포 하에서 어떤 정책이 임계 기대 비용을 달성하는지를 결정하는 것이 #P-hard임을 보인다.
• WSEPT/SEPT와 같은 일반적인 정책의 기대 목표 함수를 평가하는 것이 하드임을 확립한다.
• 결정론적 환원에 의존하지 않고 최소합(min-sum) 목표에 대한 하드성을 확장한다.

제안 방법

• WSEPT/SEPT 하에서 기대 시작 시간의 차이로 가용 해를 세는 것을 부호화하기 위해 배낭(knapsack) 기반 환원들을 구성한다.
• 처리 시간 1/n 또는 s_j인 배낭형(knapsack-type) 확률적 작업을 각 작업이 독립적으로 확률 1/2로 갖도록 정의한다.
• WSEPT/SEPT 하에서 동일한 스케줄과 서로 다른 스케줄을 강제하기 위해 차단자(blocker)와 더미(dummy) 작업을 가진 두 개의 인스턴스를 만든다.
• 배낭 가능한 부분집합의 개수를 세는 것이 #P-hard하다는 사실을 이용해 E[sum w_j C_j] 또는 E[sum C_j] 계산의 #P-hard를 추론한다.
• 차단자 작업(realization) 발생에 대한 조건화 및 비용 차이를 분석함으로써 WSEPT/SEPT에 대한 정확한 기대 비용 계산이 #P-hard임을 입증한다.

Figure 1: Illustration for an instance with $n=m=9$ : Schedules for the two scheduling instances with blocker jobs (blue), knapsack jobs (striped), and dummy job (tiled) for some NO realization of the processing times. Note that except for the knapsack job on machine no. 2, all start times are ident

실험 결과

연구 질문

• RQ1 병렬 식별 기계에서 E[sum_j w_j C_j]를 최소화하는 최적의 스케줄링 정책을 계산하는 문제가 #P-hard인가?
• RQ2 제한된 분포에서도 WSEPT나 SEPT와 같은 고정 정책의 정확한 기대 비용 평가가 #P-hard일 수 있는가?
• RQ3 비가중치 경우나 분포가 두 점만 있을 때도 하드니스가 지속되는가?
• RQ4 확률적 문제의 하드니스가 결정론적 SPT 벤치마크와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 정책 평가에서 임계 비용에 관한 의사결정 문제까지 하드니스 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 두 점 처리 시간과 단위 가중치를 가진 확률적 병렬 기계 스케줄링 문제에서 정책이 주어진 임계 비용을 달성하는지 판단하는 것은 #P-hard이다.
• WSEPT 또는 SEPT의 정확한 기대 목표 값을 계산하는 것은 #P-hard이다.
• 이 결과는 결정론적 대응에 의존하지 않고 최소합(min-sum) 목표를 갖는 확률적 스케줄링에 대한 최초의 하드니스 근거를 제공한다.
• 제한된 확률성 및 동일 기계 하에서의 하드니스가 성립하여 확률적 문제를 그 결정론적 유사체와 구분한다.
• 확률적 작업의 최소 비용 스케줄링 문제를 계산하는 것은 #P-hard로, 최적 정책 계산과 일반 정책의 정확한 평가 둘 다 비효율적임을 시사한다.