[논문 리뷰] Minimum Coprime Labelings for Operations on Graphs

John Asplund, N. Bradley Fox|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 14.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 레이블링을 갖지 않는 그래프에 대해 최소 공약수 수 𝔪𝔠(G)를 조사한다—즉, 인접한 정점이 서로 소인 레이블을 사용하면서도 최대 레이블을 최소화하는 경우이다. 이는 경로와 사이클의 합집합, 결합, 코로나, 그리고 거듭제곱과 같은 그래프 연산을 분석하여, 비소수인 경우인 홀수 사이클 합집합, 경로와 사이클의 결합, 그리고 작은 공집합 그래프와의 완전 그래프 코로나 등에 대해 𝔪𝔠(G)의 정확한 공식을 유도한다. 주요 결과로는 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 및 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ 이며, 특정 조건 하에서 성립한다.

ABSTRACT

A prime labeling of a graph of order $n$ is a labeling of the vertices with the integers $1$ to~$n$ in which adjacent vertices have relatively prime labels. A coprime labeling maintains the same criterion on adjacent vertices using any set of distinct positive integers. In this paper, we consider several families of graphs or products of graphs that have been shown to not have prime labelings and answer the natural question of how to label the vertices while minimizing the largest value in its set of labels.

연구 동기 및 목표

• 소수 레이블링을 허용하지 않는 그래프에 대해 최소 공약수 수 𝔪𝔠(G)를 결정함으로써, 표준 {1,…,n} 레이블링을 초월하는 것을 목표로 한다.
• 경로와 사이클에 대해 이산 합집합, 결합, 코로나, 그래프 거듭제곱(G², G³) 등의 그래프 연산을 분석한다.
• 홀수 사이클 합집합, 경로-사이클 결합, 완전 그래프의 코로나와 같은 비소수 그래프 가족에 대한 최소 공약수 레이블링의 열린 문제를 해결한다.
• 나무와 격자 그래프에 대한 𝔪𝔠(G)의 경계를 향상시키고, 완전 이분 그래프 Kₘ,ₙ 및 Kₙ,ₙ에 대한 공식을 탐색한다.
• Kₙ⊙K̄ₘ 및 기타 비소수 그래프 가족에 대한 최소 공약수 수에 대한 추측을 제기하고 이를 조사한다.

제안 방법

• 소수 및 서로 소 수열에 기반한 조합적 레이블 전략을 사용하여 정점에 서로 다른 양의 정수를 할당한다.
• 인접한 정점이 서로 소인 레이블을 가져야 하며, 사용된 최대 레이블을 최소화하는 원칙을 적용한다.
• 소수 간격과 밀도에 관한 정리(예: (14/13)⁹ < 2)를 활용하여 구성된 수열에서 레이블의 서로 소성을 보장한다.
• 고도의 차수를 가진 정점에서의 충돌을 피하기 위해 홀수 정수를 확보하고 소수 레이블을 이동시켜 레이블링을 구성한다.
• 기존의 경로, 사이클 및 그 연산에 대한 소수성 결과를 활용하여 경계와 정확한 값을 도출한다.
• 대칭성과 홀짝성 논증(예: (−1)ᵐ)을 사용하여 합집합과 합집합에서 그래프 순서의 홀짝성에 따라 경우를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Pₘ+Pₙ의 결합이 소수가 아닐 경우, 최소 공약수 수는 얼마인가요?
• RQ2 두 사이클 Cₘ+Cₙ의 결합에 대해 비소수인 경우에 대해 최소 공약수 수의 정확한 공식을 도출할 수 있는가요?
• RQ3 소수 레이블링이 존재하지 않을 경우, 코로나 Kₙ⊙K̄ₘ의 최소 공약수 수는 얼마인가요?
• RQ4 경로와 사이클의 고차수 거듭제곱(Gᵏ, k≥4)에 대해 최소 공약수 수를 결정할 수 있는가요?
• RQ5 소수 레이블링이 불가능할 경우, 완전 이분 그래프에 대해 𝔪𝔠(Kₘ,ₙ)에 대한 일반 공식이 존재하는가요?

주요 결과

• m≥n일 때 두 경로 Pₘ+Pₙ의 결합에 대해 최소 공약수 수는 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2이며, m의 홀짝성에 따라 정확한 값이 달라진다.
• m≥n 이며 n≤10 또는 n≥5 이고 m>118일 때 두 사이클 Cₘ+Cₙ의 결합에 대해 최소 공약수 수는 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ이다.
• 사이클과 경로의 결합 Cₘ+Pₙ에 대해 m≥n 이면 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ이며, n>m 이면 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = n+2m−2+(1−(−1)ᵐ)/2이다.
• m=1 또는 2일 때 코로나 Kₙ⊙K̄ₘ에 대해 본문은 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ)에 대한 경계와 추측을 도출하며, 특정 추측은 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = pₙ₋₁ 이며, mn≤pₙ₋₁−n−1 이면 이를 만족하고, 그 외의 경우 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = mn+n+1 이다.
• 본문은 홀수 정수와 이동된 소수 레이블 전략이 m≥10일 때 Pₘ에 대해 최소 공약수 레이블링을 제공함을 확인한다. 이 경우 모든 홀수 레이블은 사용된 최대 홀수 소수 이하에 위치한다.
• 추측 28은 모든 m≥n에 대해 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 라고 주장하며, 이는 소수 레이블링이 불가능한 경우에도 경로 결합에 대해 일반적인 공식을 제안한다.