[논문 리뷰] Minimum data rate for stabilization of linear systems with parametric uncertainties

Kunihisa Okano, Hideaki Ishii|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 22.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 데이터 전송률 제약이 있는 채널을 통해 매개변수 불확실성이 있는 선형 이산시간 시스템을 안정화하기 위한 必要하고 충분한 조건을 수립한다. 비균일 양자화기를 도입하여 균일 양자화기 대비 필요한 데이터 전송률을 감소시키며, 스칼라 식물에 대해 최적성을 달성하고 불안정성 유도 데이터 전송률 요구 조건의 범위를 좁힌다.

ABSTRACT

We study a stabilization problem of linear uncertain systems with parametric uncertainties via feedback control over data-rate-constrained channels. The objective is to find the limitation on the amount of information that must be conveyed through the channels for achieving stabilization and in particular how the plant uncertainties affect it. We derive a necessary condition and a sufficient condition for stabilizing the closed-loop system. These conditions provide limitations in the form of bounds on data rate and magnitude of uncertainty on plant parameters. The bounds are characterized by the product of the poles of the nominal plant and are less conservative than those known in the literature. In the course of deriving these results, a new class of nonuniform quantizers is found to be effective in reducing the required data rate. For scalar plants, these quantizers are shown to minimize the required data rate, and the obtained conditions become tight.

연구 동기 및 목표

• 통신 채널의 데이터 전송률 제약 조건 하에서 매개변수 불확실성이 있는 선형 시스템을 안정화하기 위해 필요한 최소 데이터 전송률을 결정하는 것.
• 식물 모델의 매개변수 불확실성이 안정화를 위한 최소 데이터 전송률 요구 조건에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 기존의 균일 양자화 방식에 비해 데이터 전송률 요구 조건을 줄일 수 있는 컨트롤러-에코더 설계를 개발하는 것.
• 특히 스칼라 시스템에 대해 데이터 전송률과 불확실성 범위의 조건으로 안정화를 위한 필요 및 충분 조건을 유도하는 것.
• 기존의 데이터 전송률 정리들을 매개변수 불확실성을 포함하도록 일반화하면서도 스칼라 케이스에서의 날카운 범위 유지하는 것.

제안 방법

• 식물 계수들이 알려진 범위 내에 존재하는 단일 입력 단일 출력 선형 시스템에 대한 안정화 문제를 수립하며, 매개변수 불확실성이 존재함을 가정한다.
• 입력 크기가 증가할수록 단계 크기가 감소하는 비균일 양자화기를 도입하여 매개변수 불확실성을 보완하도록 특별히 설계한다.
• 상태에 따라 스케일링이 변하는 주기적인 시간 변화 양자화 방식을 적용하여 정적 양자화 대비 데이터 전송률 요구 조건을 감소시킨다.
• 양자화기와 식물 동역학에서 유도된 시스템 행렬의 곱의 스펙트럼 반경을 기반으로 한 라플라스 기반 분석을 통해 안정성 조건을 도출한다.
• KKT 조건과 양자화기 매개변수에 대한 최적화를 활용하여 간격 기반 양자화 방식에 대한 평균 데이터 전송률의 날카운 상한을 도출한다.
• 기존의 알려진 식물에 대한 컨트롤러 및 통신 프로토콜을 변형하여, 구조적 추정 및 제어 법칙을 갖춘 불확실한 시스템으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 전송률 제약이 있는 채널을 통해 매개변수 불확실성이 있는 선형 시스템을 안정화하기 위해 필요한 최소 데이터 전송률은 얼마인가?
• RQ2 식물 모델의 매개변수 불확실성이 안정화를 위한 요구되는 데이터 전송률에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 식물 불확실성이 존재할 경우 비균일 양자화기가 균일 양자화기 대비 데이터 전송률 요구 조건을 줄일 수 있는가?
• RQ4 특히 스칼라 시스템에서 유도된 데이터 전송률 상한이 얼마나 날카운가, 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 양자화 방식이 불확실한 시스템에서 정적 방식에 비해 추가로 필요한 데이터 전송률을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 안정화를 위한 필수 조건으로 평균 데이터 전송률의 하한이 도출되었으며, 이는 명시적 식물의 불안정한 극점과 불확실성 범위의 곱에 의해 표현된다.
• 시간에 따라 변화하는 양자화 방식을 사용한 안정화를 위한 충분 조건이 제시되었으며, 이 경우 정적 양자화 대비 데이터 전송률 요구 조건이 엄격히 낮아지며, 특히 불확실성 범위가 0이 아닐 경우 더욱 두드러진다.
• 스칼라 식물의 경우 제안된 비균일 양자화기가 필요한 데이터 전송률을 최소화하며, 필수 및 충분 조건이 날카운 상태에 도달하여 최소 데이터 전송률이 필수 조건의 상한값과 동일해진다.
• 비균일 양자화기는 특히 고불확실성 영역에서 균일 양자화기 대비 필요한 데이터 전송률을 감소시키며, 이는 더 큰 상태 값에서 해상도를 높이는 적응형 단계 크기 덕분이다.
• 정리 4의 스펙트럼 반경 조건은 시간에 따라 변화하는 양자화 하에서 안정성에 대한 계산 가능한 충분 조건을 제공하며, 수치 결과는 평균 데이터 전송률이 정적 방식보다 필수 조건에 더 가까워진다.
• 유도된 상한은 이전 문헌의 것보다 보수적이지 않으며, 특히 스칼라 시스템에서 더욱 그렇고, 불확실성이 없을 경우 필수 및 충분 조건 사이의 격차를 임의로 작게 만들 수 있다.