[논문 리뷰] Minimum Restraint Functions for unbounded dynamics: general and control-polynomial systems

Anna Chiara Lai, Monica Motta외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 08.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유계가 아닌 제어와 비음성 실행 비용을 가진 최적 제어 문제를 위한 p₀-최소 제약 함수를 소개한다. 이는 이전의 유계 제어 집합에 대한 결과를 확장한 것으로, p₀ > 0일 때는 전역 점근적 가용성 보장과 상태에 의존하는 값 함수 상한을 제공한다. 제어 다항계열 시스템의 경우 벡터 다항식의 볼록체를 분석함으로써 적용 가능하다.

ABSTRACT

We consider an exit-time minimum problem with a running cost, $l\geq 0$ and unbounded controls. The occurrence of points where $l=0$ can be regarded as a transversality loss. Furthermore, since controls range over unbounded sets, the family of admissible trajectories may lack important compactness properties. In the first part of the paper we show that the existence of a $p_0$-minimum restraint function provides not only global asymptotic controllability (despite non-transversality) but also a state-dependent upper bound for the value function (provided $p_0>0$). This extends to unbounded dynamics a former result which heavily relied on the compactness of the control set. In the second part of the paper we apply the general result to the case when the system is polynomial in the control variable. Some elementary, algebraic, properties of the convex hull of vector-valued polynomials' ranges allow some simplifications of the main result, in terms of either near-affine-control systems or reduction to weak subsystems for the original dynamics.

연구 동기 및 목표

• 유계 제어 집합에 대한 이전의 최소 제약 함수 이론을 비유계 제어 역학으로 확장하여, 기존의 유계성 가정의 한계를 극복한다.
• l ≥ 0 이며 비유계 제어를 가진 탈출 시간 최적 제어 문제에서 전역 점근적 가용성에 대한 충분 조건을 설정한다.
• p₀ > 0일 때, 전역적으로 탈출 시간 제어 문제에서 값 함수 V(z)에 대해 상태에 의존하는 상한을 유도한다. 이는 전역 성질이 없더라도 (l=0 허용) 성립한다.
• 벡터 다항식의 범위에 대한 볼록체의 대수적 성질을 활용하여 제어 다항계열 시스템의 분석을 단순화한다.
• 다항식 제어 시스템에서 근사 선형 제어 구조와 약한 부분계열 축소를 가능하게 한다.

제안 방법

• Ω∖C에서 연속적이고 국소적으로 반구함수이며, 정의역이 양의 정부호이고 적절한 함수인 p₀-최소 제약 함수 W를 도입한다. 이는 모든 x ∈ Ω∖C에 대해 H_{l,f}(x,p₀,D*W(x)) < 0 를 만족한다.
• 제어 집합이 비유계일 경우에도 균일 연속성을 확보하기 위해 (l,f)/(1+|(l,f)|)에 대한 가설 A를 활용하여 상태 기반 시간 재스케일링 기법을 적용한다.
• 재스케일링된 동역학을 통해 비유계 제어일지라도 궤도 구성에 필요한 유계성 성질을 복원한다.
• 제어 다항계열 시스템의 경우, 단항식의 부호 패턴에 대한 조합 대칭성 원리를 활용하여 f(x,U_r)의 볼록체를 분석한다.
• 대칭 부호 조합에서의 곱의 합이 0이 되는 성질을 활용하여, w가 대칭 구간에 있을 때 f₀(x) + w f_α(x) ∈ co f(x,U_r)임을 증명한다.
• 다항식 제어 범위의 볼록체가 유한 개의 약선형 조합의 합집합에 포함됨을 보여, 근사 선형 제어 구조를 통한 분석이 가능하도록 문제를 약한 부분계열로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 제약 함수 개념을 제어 집합의 유계성에 의존하지 않고 비유계 제어 집합으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 l(x,u) = 0 인 점이 존재하는 경우에도(p₀-최소 제약 함수의 존재가 여전히 전역 점근적 가용성을 유도하는가?
• RQ3 비유계 제어와 소멸하는 실행 비용이 존재하는 상황에서도 값 함수에 대해 상태에 의존하는 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 벡터 다항식 제어 범위의 볼록체는 어떻게 단순화하여 최적 제어 분석의 복잡도를 줄일 수 있는가?
• RQ5 제어 다항계열 시스템은 약한 부분계열 또는 근사 선형 형태로 축소될 수 있는가? 이를 통해 p₀-최소 제약 함수의 구성이 용이해지는가?

주요 결과

• p₀-최소 제약 함수의 존재는 l(x,u) = 0 인 점이 존재하는 경우에도 목표 집합 C로의 전역 점근적 가용성을 보장한다.
• p₀ > 0일 경우, 모든 z ∈ Ω∖C에 대해 V(z) ≤ W(z)/p₀ 를 만족하며, 이는 연속적인 상한을 제공한다.
• 가설 A는 시간 재스케일링에 필요한 정규성 조건을 보장하여, 비유계 제어 문제에서의 유계성 추론이 가능하다.
• 제어 다항계열 시스템의 경우, 대칭 부호 평균화 덕분에 f₀(x) + w f_α(x) 형태의 모든 항이 f(x,U_r)의 볼록체에 포함된다.
• 근사 선형 제어 구조를 통해 약한 부분계열로의 축소가 가능하여 다항식 역학의 분석을 단순화한다.
• 결과는 다항식, 지수함수, 리프시츠 연속 제어 의존성을 가진 시스템에 적용 가능하여, 이전의 유계 제어 집합에 국한되지 않는 광범위한 적용 가능성을 제공한다.