[논문 리뷰] Mirabolic Robinson-Schensted-Knuth correspondence

Roman Travkin|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 12.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 GL(V)-오빗이 Fl(V) × Fl(V) × V에 있는 것을 인덱싱하는 장식된 순열과 두 표준 양탁형과 한 분할로 이루어진 삼중체 사이의 전단사 관계를 설정하는 미라보릭 로빈슨-샤크스-쿤스(RSK) 대응을 소개한다. 이 대응은 이러한 오빗들을 조합론적 세포로 분할하며, 이 세포들이 일반 일반 쌍곡선 벡터의 유형으로 정의된 마이크로로컬 두측 세포와 정확히 일치함을 보여준다. 저자들은 이러한 세포들이 플래그 다양체의 곱과 V에서 유래한 헤이크 대칭 대입물의 이중 모듈러 카즈단-루스티그 세포와 일치할 것이라 추측하며, 유니포텐트 미라보릭 특성 셰이프의 분류에 응용 가능성을 제안한다.

ABSTRACT

The set of orbits of $GL(V)$ in $Fl(V) imes Fl(V) imes V$ is finite, and is parametrized by the set of certain decorated permutations in a work of Solomon. We describe a Mirabolic RSK correspondence (bijective) between this set of decorated permutations and the set of triples: a pair of standard Young tableaux, and an extra partition. It gives rise to a partition of the set of orbits into combinatorial cells. We prove that the same partition is given by the type of a general conormal vector to an orbit. We conjecture that the same partition is given by the bimodule Kazhdan-Lusztig cells in the bimodule over the Iwahori-Hecke algebra of $GL(V)$ arising from $Fl(V) imes Fl(V) imes V$. We also give conjectural applications to the classification of unipotent mirabolic character sheaves on $GL(V) imes V$.

연구 동기 및 목표

• GL(V)-오빗을 새로운 조합론적 대응을 통해 Fl(V) × Fl(V) × V에서 분류하기.
• 이 오빗들과 표준 양탁형 두 개와 분할 하나로 이루어진 삼중체 사이의 전단사 관계를 설정하여 고전적인 RSK 알고리즘을 일반화하기.
• 이 대응이 일반 일반 쌍곡선 벡터의 유형에 의해 정의된 오빗의 분할(마이크로로컬 세포)과 일치함을 증명하기.
• 동일한 분할이 헤이크 대칭 대입물 RN에서의 이중 모듈러 카즈단-루스티그 세포와 일치할 것이라 추측하기.
• GL(V) × V에서의 유니포텐트 미라보릭 특성 셰이프의 분류에 응용 가능성을 제안하기.

제안 방법

• RBN에 속하는 장식된 순열과 T1, T2가 형상 ν, ν′를 가지며 |ν| = |ν′| = N인 표준 양탁형과 θ가 ν ⊃ θ ⊂ ν′를 만족하는 분할인 삼중체 (T1, T2, θ) 사이의 전단사 관계로 미라보릭 RSK 대응을 정의한다.
• 오빗의 일반 쌍곡선 벡터의 유형에 따라, 삼중체 (ν ⊃ θ ⊂ ν′)에 의해 인덱싱되는 Z의 닫힌 기하학적 기하구조를, 오빗의 일반 쌍곡선 벡터의 닫힌 일반 쌍곡선 벡터의 기하학적 기하구조의 이미지로서 구성한다.
• GL(V)--equivariant 혼합 타이트 복합체의 그로텐디크 군 위에서 HN의 Iwahori-헤이크 대칭 대입물 RN을 정의하기 위해, Fl(V) × Fl(V) × V 위에서의 GL(V)-equivariant 혼합 타이트 복합체의 그로텐디크 군 위에서 HN의 작용을 사용한다.
• 오빗에 의해 인덱싱되는 카즈단-루스티그 기저를 사용하여 RN에서의 이중 모듈러 카즈단-루스티그 세포를 정의한다.
• 푸리에-델리뉴 변환을 통한 RBN 위의 대칭 F를 도입하며, 이가 왼쪽, 오른쪽, 이중 모듈러 세포를 모두 유지함을 보인다.
• 미라보릭 RSK 출력 (ν, ν′, θ)가 마이크로로컬 세포와 이중 모듈러 KL 세포를 모두 분류할 것이라 추측하며, Jν에 대한 점점 더 큰 이중 모듈러 대칭 대입물이 미라보릭 RSK 사상에 의해 행렬 이중 모듈러 대칭 대입물로 동형임을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미라보릭 RSK 대응은 Fl(V) × Fl(V) × V에서의 GL(V)-오빗을 표준 양탁형 삼중체와 분할로 분류하는가?
• RQ2 일반 일반 쌍곡선 벡터의 노름형에 의해 정의된 마이크로로컬 두측 세포는 미라보릭 RSK 출력 (ν, ν′, θ)에 의해 정의된 세포와 일치하는가?
• RQ3 RBN의 이중 모듈러 카즈단-루스티그 세포로의 분할은 미라보릭 RSK 대응에 의해 유도된 분할과 동치인가?
• RQ4 대각선 세포(ν = ν′)에 대한 루스티그의 Jν에 대한 점점 더 큰 이중 모듈러 대칭 대입물이 미라보릭 RSK 알고리즘을 통해 행렬 이중 모듈러 대칭 대입물로 표현될 수 있는가?
• RQ5 Fl(V) × Fl(V) × V 위의 GL(V)-equivariant 펄서브 셰이프의 푸시포워드 CH(F)의 기하학적 기하학적 구성 요소가 (ν, θ)에 의해 인덱싱된 유니포텐트 미라보릭 특성 셰이프와 대응하는가?

주요 결과

• 미라보릭 RSK 대응은 RBN에 속하는 장식된 순열의 집합과 T1, T2가 형상 ν, ν′를 가지며 |ν| = |ν′| = N인 표준 양탁형, 그리고 ν ⊃ θ ⊂ ν′를 만족하는 분할 θ를 가지는 삼중체 (T1, T2, θ)의 집합 사이의 전단사 관계를 제공한다.
• 일반 일반 쌍곡선 벡터의 노름형에 의해 정의된 RBN의 마이크로로컬 두측 세포 분할은 정확히 미라보릭 RSK 출력 (ν, ν′, θ)에 의해 유도된 분할과 일치한다.
• 푸리에-델리뉴 변환에 의해 유도된 RBN 위의 대칭 F는 왼쪽, 오른쪽, 이중 모듈러 카즈단-루스티그 세포를 모두 유지한다.
• RN의 이중 모듈러 KL 세포는 미라보릭 RSK 출력 (ν, ν′, θ)에 의해 정확히 분할될 것이라 추측되며, ˜w와 ˜w′가 같은 세포에 속해 있음은 동일한 (ν, ν′, θ)를 유도함을 의미한다.
• Jν⊃θ⊂ν에 대한 점점 더 큰 이중 모듈러 대칭 대입물은 미라보릭 RSK 사상에 의해 행렬 이중 모듈러 대칭 대입물 MatSt(ν)와 동형임을 추측하며, t˜w가 (T1, T2)로부터 구성된 eT1,T2로 매핑됨을 보여준다.
• 유니포텐트 미라보릭 웰 셰이프의 K군에서의 CH(˜H˜w)의 동치류는 Fλ,μ의 선형 조합으로 표현되며, 계수 fλ,μ는 (ν, θ) = Υ(λ, μ)에 대응하는 합성항 외에는 0이 된다고 추측된다.