[논문 리뷰] Mirror symmetry for perverse schobers from birational geometry

Will Donovan, Tatsuki Kuwagaki|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원 칼라비-유아 타원곡선에서 빌라티오나리 기하학으로부터 유래한 희귀한 슈뢰버에 대해, 정지가 있는 푸카야 분류와 일관된-구성 대응을 사용하여 거울 파트너를 구성한다. 이는 거울 슈뢰버의 2차 컴act cohomology가 특이 다양체 위의 일관된 sheaf의 유도 범주를 복원함으로써 호모로지 거울 대칭 동치를 확립하며, 이러한 거울 대칭에 대한 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Perverse schobers are categorical analogs of perverse sheaves. Examples arise from varieties admitting flops, determined by diagrams of derived categories of coherent sheaves associated to the flop: in this paper we construct mirror partners to such schobers, determined by diagrams of Fukaya categories with stops, for examples in dimensions 2 and 3. Interpreting these schobers as supported on loci in mirror moduli spaces, we prove homological mirror symmetry equivalences between them. Our construction uses the coherent-constructible correspondence and a recent result of Ganatra-Pardon-Shende to relate the schobers to certain categories of constructible sheaves. As an application, we obtain new mirror symmetry proofs for singular varieties associated to our examples, by evaluating the categorified cohomology operators of Bondal-Kapranov-Schechtman on our mirror schobers.

연구 동기 및 목표

• 2차원 및 3차원 칼라비-유아 다양체에서 빌라티오나리 기하학으로부터 유래한 희귀한 슈뢰버에 대한 거울 파트너를 구성하기.
• 일관된 sheaf의 유도 범주와 정지가 있는 푸카야 분류 사이의 호모로지 거울 대칭 동치를 확립하기.
• 슈뢰버를 거울 모듈리 공간의 국소에 지지된 것으로 해석하고, 일관된-구성 대응을 통해 구성된 sheaf와 연결하기.
• 거울 슈뢰버에 분류화된 cohomology 연산자를 평가하여 특이 다양체의 유도 범주를 복원함으로써, 특이 다양체에 대한 호모로지 거울 대칭의 새로운 증명을 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 일관된 sheaf의 유도 범주와 구성된 sheaf의 범주를 연결하기 위해 일관-구성 대응을 사용한다.
• 강트라–파슨–쉔드의 최근 결과를 적용하여, 미세지역 이론을 통해 슈뢰버를 구성된 sheaf와 연결한다.
• 3-다양체에서의 플롭으로부터 구형 쌍과 플로버를 정의하는 데에는, 곱의 유도 범주와 몫 구성 방법을 사용한다.
• 정지가 있는 푸카야 분류는 거울 측면을 모델링하는 데 사용되며, 정지가 라그랑주 스켈레톤에 의해 표현된다.
• 모리타 모델에서 버디에르–드린펠트 몫과 호모토피 쐐기합을 사용하여 구성된 sheaf의 범주를 연결한다.
• 거울 슈뢰버의 2차 컴팩트 cohomology는 쐐기합 다이어그램을 통해 계산되며, 이는 특이 다양체의 유도 범주와의 동치로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 구조 모듈리 공간 위에서 국소적으로 상수인 푸카야 분류의 가속화된 가중치는 희귀한 슈뢰버로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이 거울 슈뢰버는 특이 다양체 위의 일관된 sheaf의 유도 범주와 호모로지 거울 대칭 동치를 만족하는가?
• RQ3 Bondal–Kapranov–Schechtman의 분류화된 cohomology 연산자를 거울 슈뢰버에 평가하여 특이 다양체의 유도 범주를 복원할 수 있는가?
• RQ4 특이 토릭 다양체에 대해 거울 슈뢰버의 구성은 일관-구성 대응과 호환되는가?
• RQ5 플롭으로부터 유도된 플로버와 구형 쌍은 거울 설정에서 동일한 2차 컴팩트 cohomology를 유도하는가?

주요 결과

• 거울 슈뢰버는 정지가 있는 푸카야 분류를 사용하여 구성되며, 빌라티오나리 기하학으로부터 유래한 희귀한 슈뢰버에 대한 범주론적 거울 파트너를 제공한다.
• 특이 다양체 위의 일관된 sheaf의 유도 범주와 거울 슈뢰버의 2차 컴팩트 cohomology 사이의 동치를 통해 호모로지 거울 대칭이 확립된다.
• 거울 슈뢰버의 2차 컴팩트 cohomology는 $ D(X_0) $를 복원하며, 거울 대칭 동치의 확인을 보여준다.
• 모리타 모델에서의 호모토피 쐐기합 다이어그램을 사용하여, 거울 슈뢰버가 구성된 sheaf의 범주의 쐐기합으로서 유도됨을 보여준다.
• 분류화된 cohomology 연산자를 거울 슈뢰버에 평가함으로써 특이 다양체에 대한 호모로지 거울 대칭의 새로운 증명이 제공된다.
• 결과는 매끄러운 정밀화에 대한 극한을 통해 일관-구성 대응을 특이 토릭 다양체로 일반화할 가능성을 시사한다.