[논문 리뷰] Mixed dispersion nonlinear Schr\"odinger equation in higher dimensions: theoretical analysis and numerical computations

Atanas Stefanov, G. A. Tsolias외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 12.

Nonlinear Photonic Systems참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초점화된 비편평성 연산자와 비초점화된 라플라스 연산자(등방성 또는 비등방성)를 가진 고차원 혼합 산란 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 기저 상태 해의 존재성과 스펙트럼 안정성을 다룬다. 특히 차원 d=2에 초점을 맞춘다. 연구는 비선형성 거듭제곱 p가 입방 이하일 경우 해가 안정함을 규명하였으며, 입방과 오차 사이의 임계값을 초과하면 불안정해지고, 그 이상에서는 항상 불안정해지며, p가 증가함에 따라 안정 창문이 좁아짐을 보였다.

ABSTRACT

In the present work we provide a characterization of the ground states of a higher-dimensional quadratic-quartic model of the nonlinear Schr{\"o}dinger class with a combination of a focusing biharmonic operator with either an isotropic or an anisotropic defocusing Laplacian operator (at the linear level) and power-law nonlinearity. Examining principally the prototypical example of dimension $d=2$, we find that instability arises beyond a certain threshold coefficient of the Laplacian between the cubic and quintic cases, while all solutions are stable for powers below the cubic. Above the quintic, and up to a critical nonlinearity exponent $p$, there exists a progressively narrowing range of stable frequencies. Finally, above the critical $p$ all solutions are unstable. The picture is rather similar in the anisotropic case, with the difference that even before the cubic case, the numerical computations suggest an interval of unstable frequencies. Our analysis generalizes the relevant observations for arbitrary combinations of Laplacian prefactor $b$ and nonlinearity power $p$.

연구 동기 및 목표

• 경쟁적인 비편평성 및 라플라스 산란을 가진 고차원 비선형 슈뢰딩거 방정식의 기저 상태를 특성화하는 것.
• 비선형성 거듭제곱 p와 라플라스 계수 b에 따른 이러한 기저 상태의 스펙트럼 안정성을 분석하는 것.
• 두 차원에서 등방성(균일한 라플라스) 및 비등방성(방향성 라플라스) 산란 케이스를 비교하는 것.
• 이론적 및 수치적 분석을 b와 p의 임의의 조합, 특히 d=2에서 확장하는 것.
• 이러한 결과가 고차원 시스템과 고차 산란의 실험적 실현에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 등방성 및 비등방성 모델을 수립: R^d에서 iu_t + ∆^2 u + b∆u - |u|^{p-1}u = 0 및 iu_t + ∆^2 u + b∂_{x1}^2 u - |u|^{p-1}u = 0.
• 정적 타원형 방정식으로 문제를 축소하기 위해 정상파 해법 u = e^{-iωt} Φ를 적용하여, ∆^2Φ + b∆Φ + ωΦ - |Φ|^{p-1}Φ = 0 및 비등방성 케이스와 유사한 식을 도출.
• 선형화된 시스템에 기반한 정의된 연산자 J와 L을 사용한 고유값 문제 J L v = μ v를 통한 스펙트럼 안정성 분석.
• 특히 p < 3 및 p > 5인 경우에 대해 기저 상태의 존재성과 안정성에 대한 엄밀한 이론적 분석을 적용.
• d=2에서 p와 b에 따른 안정 영역을 맵핑하기 위해 광범위한 수치 계산을 수행하였으며, 주파수 대 p에 대한 반로그 플롯을 사용.
• 등방성 및 비등방성 케이스를 비교하여, 비등방성 설정에서 입방 이하에서도 불안정 간격이 존재함을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등방성 라플라스 산란을 가진 고차원 혼합 산란 NLS 방정식에서 기저 상태의 안정성 행동은 어떠한가?
• RQ2 등방성 케이스에서 비선형성 거듭제곱 p와 라플라스 계수 b에 따라 해의 안정성은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 x1 방향으로만 존재하는 비등방성 산란은 등방성 케이스와 비교해 안정성 구도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 모든 해가 불안정해지는 임계 비선형성 지수 p는 무엇이며, 이 임계값은 b에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ5 p > 5인 경우 안정 주파수 창문이 존재하는가? 그리고 p가 증가함에 따라 이러한 창문은 어떻게 좁아지는가?

주요 결과

• 모든 해는 비선형성 거듭제곱 p < 3일 경우, 라플라스 계수 b에 관계없이 스펙트럼적으로 안정하다.
• 입방과 오차 사이의 범위(3 < p < 5)에서, 라플라스 계수 b의 임계값을 초과하면 불안정성이 발생한다.
• p > 5인 경우, 점점 좁아지는 안정 주파수 범위가 존재하며, p가 증가할수록 안정 창문이 좁아진다.
• 임계 비선형성 지수 p_c를 초과하면, b에 관계없이 모든 해가 불안정해지며, 이는 불안정성의 일반화된 조건이다.
• 비등방성 케이스에서는 수치 결과에 따르면 p < 3이어도 불안정 주파수 간격이 존재하는 것으로 나타나, 이는 등방성 케이스에서는 관찰되지 않는 특성이다.
• 비등방성 모델은 선형 근처(ω → 0.25)에서 해가 분리 가능하며, y방향으로 균일한 노달 라인을 가진다.