[논문 리뷰] Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies

Amadeu Delshams, Marina Gonchenko외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 02.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭적인 이차 동형 접촉을 가진 2차원 가역 맵을 조사하여, 점 渐近적으로 안정적이고, 불안정적이며, 타원형인 주기 궤도의 출현을 이르는 무한한 분기 연쇄의 존재를 증명한다. 멜니코프 유형 분석과 정규형 기법을 사용하여, 가역 시스템에서 뉴하우스 현상이 발생하며, 동형 접촉 근처에서 다양한 주기 궤도의 지속적인 공존을 보여준다.

ABSTRACT

We study dynamics and bifurcations of 2-dimensional reversible maps having a symmetric saddle fixed point with an asymmetric pair of nontransversal homoclinic orbits (a symmetric nontransversal homoclinic figure-8). We consider one-parameter families of reversible maps unfolding the initial homoclinic tangency and prove the existence of infinitely many sequences (cascades) of bifurcations related to the birth of asymptotically stable, unstable and elliptic periodic orbits.

연구 동기 및 목표

• 대칭적인 안정점과 비교행성 동형 도형-8을 가진 2차원 가역 맵의 동역학과 분기를 분석하기.
• 1파ram터 가족의 가역 맵에서 대칭적인 이차 동형 접촉 쌍의 편개를 조사하기.
• 안정적, 불안정적, 타원형 주기 궤도의 출현을 포함하는 무한한 분기 연쇄의 존재를 확립하기.
• 동형 접촉 근처에서 서로 다른 유형의 주기 궤도가 무한히 공존하는 것을 보여줌으로써, 가역 동역학계에 뉴하우스 현상을 확장하기.
• 멜니코프 함수를 사용하여, 시간 주기적 가역 시스템에서 이차 동형 접촉이 발생하는 명시적 매개변수 조건을 제공하기.

제안 방법

• 통합계의 가역적 왜곡에서 동형 접촉을 탐지하기 위해 멜니코프 함수를 활용하기.
• 대칭적인 동형 도형-8 근처의 국소 동역학과 접촉의 편개를 분석하기 위해 정규형 이론을 사용하기.
• 특히 가브릴로프-시릴니코프 분기 연쇄 정리에 기반한 동형 접촉의 분기 이론을 가역 설정에 적용하기.
• 시간 주기적 왜곡을 유지하는 가역 시스템의 명시적 예(예: 왜곡된 디프링 및 물고기 방정식)를 구성하기.
• 멜니코프 함수의 이중 영점 조건을 풀어 이차 접촉 조건을 유도하고, 제2도함수가 0이 아니라는 보장 확보하기.
• 매개변수에 의존하는 왜곡을 사용하여 초기 동형 접촉을 편개하고, 혼합 동역학이 지배하는 간격(뉴하우스 간격)을 식별하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 가역 맵에서 대칭적인 이차 동형 접촉 쌍이 편개될 때 어떤 유형의 분기가 발생하는가?
• RQ2 특히 서로 다른 안정성 유형의 주기 궤도 공존 측면에서, 가역 시스템에서 뉴하우스 현상은 어떻게 나타나는가?
• RQ3 가역 2차원 맵가 어떤 조건에서 이차 동형 접촉을 보이며, 멜니코프 함수를 통해 이러한 접촉은 어떻게 탐지할 수 있는가?
• RQ4 동형 접촉을 가진 가역 시스템에서 안정적, 불안정적, 타원형 주기 궤도의 출현을 포함하는 무한한 연쇄적 탄생이 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ5 대칭은 가역 맵에서 동형 접촉 근처 혼합 동역학의 형성과 지속성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 1파라미터 가족의 2차원 가역 맵에서 대칭적인 이차 동형 접촉 쌍이 편개될 때 무한한 분기 연쇄가 발생한다.
• 시스템은 뉴하우스 현상을 나타낸다: 초기 접촉의 임의의 이웃 영역 내에서, 서로 다른 유형의 무한한 주기 궤도의 지속적 공존이 존재하는 열린 영역가 존재한다.
• ω=3 및 특정한 α,β 관계를 가진 디프링형 시스템에서, t₀=π/2 에서 이차 동형 접촉이 발생하며, M(t₀)=M′(t₀)=0 이고 M′′(t₀)≠0 를 만족한다.
• ω₀=2, ω₁=6, t₀=π/4, 그리고 β = [(2⁴−1)sinh(2π)] / [3(6⁴−1)sinh(6π)] α 를 만족하는 물고기 방정식 예시에서, t₀=π/4 에서 이차 접촉이 달성된다.
• 멜니코프 함수 분석은 첫 번째 및 두 번째 도함수가 동일한 점에서 0이 되고, 제2도함수가 0이 아닌 경우에 접촉이 이차적임을 확인한다.
• 결과는 대칭적인 동형 접촉을 가진 가역 시스템에서 혼합 동역학, 즉 안정적, 불안정적, 타원형 주기 궤도의 탄생이 일반적임을 확인한다.