[논문 리뷰] Mixed-norm $L_p$-estimates for non-stationary Stokes systems with singular VMO coefficients and applications

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공간에서 평균값이 0인(VMO) 특이 계수를 갖는 비정적 스토크스 시스템에 대한 해에 대해 혼합노름 $L_p$-추정을 정립한다. 이는 공간에서 작은 평균 진동 조건 하에서 이루어진다. 주요 기여는 레일리-홉프 약한 해에 대한 새로운 $\mathcal{C}$-정규성 기준으로, 유도된 혼합노름 레바그 공간에서의 기울기 및 이阶 도함수 노름 추정을 활용하여 세린의 정규성 기준을 경계 사례로까지 확장한 것이다.

ABSTRACT

We prove the mixed-norm Sobolev estimates for solutions to both divergence and non-divergence form time-dependent Stokes systems with unbounded measurable coefficients having small mean oscillations with respect to the spatial variable in small cylinders. As a special case, our results imply Caccioppoli's type estimates for the Stokes systems with variable coefficients. A new $ε$-regularity criterion for Leray-Hopf weak solutions of Navier-Stokes equations is also obtained as a consequence of our regularity results, which in turn implies some borderline cases of the well-known Serrin's regularity criterion.

연구 동기 및 목표

• 측정 가능하고 특이적이며 공간에서 작은 평균 진동을 갖는 계수를 갖는 시간에 의존하는 스토크스 시스템의 약한 해에 대해 혼합노름 소볼레프 추정을 정립하는 것.
• 비발산형 스토크스 시스템에 대한 정규성 결과를 확장하여, 혼합노름 $L_{s,q}$ 공간에서의 이阶 공간 도함수에 초점을 맞추는 것.
• L_p-추정을 활용하여 레일리-홉프 약한 해에 대한 나비에-스토크스 방정식에 대한 새로운 $\mathcal{C}$-정규성 기준을 도출하는 것.
• 혼합노름 레바그 공간에서의 적분 조건을 분석하여 세린의 정규성 기준을 경계 사례로 확장하는 것.
• 특이 계수의 평균값이 0인(VMO) 성질이 비정적 유체 시스템의 해의 정규성에 미치는 역할을 분석하는 것.

제안 방법

• 시간과 공간 적분의 조합을 통해 파arabolic 실린더 $Q_{\rho}(z_0)$ 내에서 해를 분석하기 위해 혼합노름 레바그 공간 $L_{s,q}(Q)$ 를 사용하는 것.
• 작은 평균 진동 $\delta$ 와 지수 $\alpha_0 \geq 1$ 를 갖는 VMO 조건을 적용하여 공간에서의 계수 변동성을 통제하는 것.
• 시퀀스 $s_k$ 와 $r_k$ 를 통한 재귀적 반복 기법을 활용하여 적분 가능성을 부스팅하고 기울기의 합계 가능성을 향상시키는 것.
• 모리지 공간에서의 캘러존-지그문트 추정을 적용하여 $Dd_{ij}$ 의 $L_{s,\alpha}$-노름을 통제하고 이를 해의 노름과 연결하는 것.
• 소볼레프-파인카레 부등식과 헬더 부등식을 활용하여 $d_{ij}$ 의 진동을 해와 그 도함수의 노름으로 표현하는 추정을 도출하는 것.
• 소형 실린더에서 선형화된 나비에-스토크스 시스템에 주요 $L_p$-추정을 반복 적용하여 새로운 $\mathcal{C}$-정규성 기준을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이적이고 VMO 계수를 갖는 비정적 스토크스 시스템의 약한 해에 대해 기울기의 혼합노름 $L_p$-추정을 확립할 수 있는가?
• RQ2 계수 행렬의 특이 반대칭 부분 $d_{ij}$ 와 작은 평균 진동을 갖는 대칭 부분 $b_{ij}$ 를 갖는 경우, 해의 정규성 성질은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 스토크스 시스템에 대한 $L_p$-추정을 어떻게 활용하여 레일리-홉프 약한 해에 대한 나비에-스토크스 방정식의 새로운 정규성 기준을 도출할 수 있는가?
• RQ4 혼합노름 추정을 활용하여 세린 기준의 경계 사례로 확장된 $\mathcal{C}$-정규성 기준을 도출할 수 있는가?
• RQ5 VMO 조건에서 파라미터 $\alpha_0$ 는 해의 더 높은 적분 가능성과 정규성 확보에 있어 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 계수 행렬의 대칭 부분에 대한 VMO 조건 하에서, 발산형 스토크스 시스템 (1.1) 의 약한 해에 대해 기울기 $Du$ 에 대한 혼합노름 $L_{s,q}$-추정을 증명한다.
• 비발산형 시스템 (1.4) 에 대해서는 동일한 VMO 가정 하에서 이阶 공간 도함수 $D_{ij}u$ 에 대해 $L_{s,q}$-추정을 수립한다.
• 새로운 $\mathcal{C}$-정규성 기준이 도출된다: 속도장 $u$ 의 $L_{s_k}$-노름이 소형 파라볼릭 실린더에서 충분히 작다면, $u$ 는 하우더 연속성이 되며 따라서 매끄럽다.
• $\mathcal{C}$-정규성 기준은 세린의 정규성 기준을 경계 사례로 확장하는 것을 의미하며, 이는 적분 지수 $s$ 가 임계 값 $d+2$ 에 가까워질 때 유효하다.
• $s_k$ 와 $r_k$ 시퀀스를 통한 주요 $L_p$-추정의 반복 적용은 적분 가능성의 부스팅을 이끌어내며, 이는 $\frac{d}{s_{k_0}} + \frac{2}{s_{k_0}} < 1$ 를 만족하는 $s_{k_0}$ 에서 $\nabla u$ 의 $L_{s_{k_0}}$-유계성을 포함한다.
• 모리지 공간 프레임워크를 통해 반대칭 부분 $d_{ij}$ 의 진동을 통제하고, 그 결과 도출된 추정을 통해 주요 정리를 나비에-스토크스 시스템에 적용할 수 있다.