[논문 리뷰] Mixed powerdomains for probability and nondeterminism

Klaus Keimel, Gordon Plotkin|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 03.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 38인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 도메인 이론적 볼록 집합의 부분확률 측도에 대한 자유 대수로 일반적 비결정성과 확률적 비결정성을 결합하는 혼합 파워도메인을 소개한다. Kegelspitzen(추상 볼록 집합)과 d-cone를 사용하여 기능적 표현과 술어 변환자 등가성을 수립한다. 주요 기여는 일관성 조건 하에 하한, 상한, 볼록 파워도메인에 대해 상태 변환자와 술어 변환자 간의 이중성에 기반한 Kegelspitze 준서열 등식을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We consider mixed powerdomains combining ordinary nondeterminism and probabilistic nondeterminism. We characterise them as free algebras for suitable (in)equation-al theories; we establish functional representation theorems; and we show equivalencies between state transformers and appropriately healthy predicate transformers. The extended nonnegative reals serve as `truth-values'. As usual with powerdomains, everything comes in three flavours: lower, upper, and order-convex. The powerdomains are suitable convex sets of subprobability valuations, corresponding to resolving nondeterministic choice before probabilistic choice. Algebraically this corresponds to the probabilistic choice operator distributing over the nondeterministic choice operator. (An alternative approach to combining the two forms of nondeterminism would be to resolve probabilistic choice first, arriving at a domain-theoretic version of random sets. However, as we also show, the algebraic approach then runs into difficulties.) Rather than working directly with valuations, we take a domain-theoretic functional-analytic approach, employing domain-theoretic abstract convex sets called Kegelspitzen; these are equivalent to the abstract probabilistic algebras of Graham and Jones, but are more convenient to work with. So we define power Kegelspitzen, and consider free algebras, functional representations, and predicate transformers. To do so we make use of previous work on domain-theoretic cones (d-cones), with the bridge between the two of them being provided by a free d-cone construction on Kegelspitzen.

연구 동기 및 목표

• 계산 모델에서 일반적 비결정성과 확률적 비결정성을 통합하는 도메인 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 연속적인 dcpos 위에서 볼록 집합의 부분확률 측도에 대한 자유 대수로서 혼합 파워도메인을 특성화하는 것.
• 기능적 표현을 사용하여 상태 변환자와 술어 변환자 간의 이중성을 수립하는 것.
• 이전의 d-cone와 추상 확률 대수에 대한 연구를 확장하여 자연스러운 대수 법칙을 가진 혼합 비결정성도 처리하는 것.
• 확장된 음이 아닌 실수에서의 진리값을 사용하여 확률적 및 비결정적 선택을 포함하는 프로그램을 다룰 수 있는 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자는 Kegelspitzen을 도메인 이론적 추상 볼록 집합으로 사용하여 혼합 파워도메인을 모델링한다. 이는 추상 확률 대수와 동치이다.
• Kegelspitzen에서 자유 d-cone를 구성하여 기존의 d-cone 결과를 활용하고, 이를 측도 기반 파워도메인으로 확장한다.
• 혼합 파워도메인은 부분확률 측도의 볼록 집합으로 정의되며, 확률적 선택이 비결정적 선택 위에 분배되며, 식 $x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$ 를 만족한다.
• Kegelspitzen을 d-cone에 대한 보편 임bedding을 통해 기능적 표현을 유도하며, 연속적, 단조적, 부분선형적, 중간값 성질을 가지는 함수 공간 간의 동형사상이 가능해진다.
• 술어 변환자는 측도 위에서 적분의 하한과 상한을 사용하여 정의되며, 형태는 $\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$ 이다.
• 일관성 조건 하에 하한, 상한, 볼록 파워도메인에 대해 Kegelspitze 준서열 등식을 통해 상태 변환자와 술어 변환자 간의 이중성이 수립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적 비결정성과 확률적 비결정성을 도메인 이론적 맥락에서 어떻게 대수적으로 결합할 수 있는가?
• RQ2 비결정성과 확률을 결합한 혼합 파워도메인의 기능적 표현은 무엇인가?
• RQ3 혼합 비결정성이 존재하는 상황에서 상태 변환자에 기반해 술어 변환자를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 혼합 비결정성의 경우 볼록 파워도메인에서 일관성이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 d-cone 프레임워크를 Kegelspitzen에 적응시켜 직접 측도 작업을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 혼합 파워도메인은 연속적인 dcpos 위에서 자유 대수로 특성화되며, 확률적 선택이 비결정적 선택 위에 분배되며 식 $x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$ 를 만족한다.
• 상태 변환자 $s: P \to \mathcal{P}\mathcal{V}_{\leq 1}Q$ 의 공간은 $\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$ 를 통해 술어 변환자 $\mathcal{L}_{\mathrm{mon},\subseteq,\rm{med}}(\mathcal{P}\mathbb{I}^{Q}, \mathcal{P}\mathbb{I}^{P})$ 의 공간과 동형이다.
• 이 동형사상은 하한, 상한, 볼록 파워도메인 모두에 대해 성립하며, 볼록 경우는 도메인이 일관성이 있어야 한다.
• 기능적 표현은 Kegelspitzen을 d-cone에 보편적으로 임bedding함으로써 확보되며, 이는 콘 이론적 구성 결과의 이행을 가능하게 한다.
• 술어 변환자가 $\subseteq$-단조적, $\subseteq$-부분선형적, 중간값 성질을 가지며, 이 성질들이 동형사상 하에서도 유지됨이 입증되었다.
• 이 프레임워크는 직접적인 측도 조작을 피하기 위해 Kegelspitzen과 d-cone를 사용함으로써, 혼합 비결정성에 대해 더 추상적이고 모듈러한 접근법을 제공한다.