[논문 리뷰] Mock Modular Forms with Integral Fourier Coefficients

Yingkun Li, Markus Schwagenscheidt|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수를 가진 허수 모듈라 형식을 구성하기 위해, 무게 1/2 및 3/2인 일변수 테타 함수인 그림자와 함께 정규화된 페르스폰 내적을 계산하여 명시적인 모의 모듈라 형식을 수립한다. 주요 기여는 이러한 형식을 명시적인 인수(24N⁴ 또는 144N⁴)로 스케일링할 경우 계수가 정수임을 증명함으로써, 이러한 형식에 대해 처음으로 절대적 분모 경계를 제공하고 이전의 지수적 경계를 향상시킨다는 것이다.

ABSTRACT

In this note, we explicitly construct mock modular forms with integral Fourier coefficients by evaluating regularized Petersson inner products involving their shadows, which are unary theta functions of weights 1/2 and 3/2 . In addition, we also improve the known bounds for the denominators of the coefficients of mock modular forms whose shadows are holomorphic weight one cusp forms constructed by Hecke.

연구 동기 및 목표

• 무게 1/2 및 3/2인 일변수 테타 함수의 그림자를 가진 명시적인 모의 모듈라 형식을 정수 계수를 가짐으로써 구성한다.
• 해당 형식의 푸리에 계수에 대한 기존의 지수적 분모 경계를 향상시킨다.
• 정규화된 테타 리프트와 세르 쌍대성을 이용하여 일변수 테타 함수의 ξ-역상에 대한 명시적이고 계산 가능한 구성법을 제공한다.
• 푸리에 계수의 분모에 절대적 경계를 확립함으로써, 관련 공식에서 대수적 값의 정확한 정의 체를 가능하게 한다.
• 새로운 명시적 공식을 통해 허위치타 함수와 라마누잔의 모의 테타 함수에 대한 기존 결과를 분모가 유계인 공식을 통해 확장한다.

제안 방법

• 무한히 해석 가능한 모듈라 형식과 무게 1/2 또는 3/2인 일변수 테타 함수 사이의 정규화된 페르스폰 내적을 계산한다.
• 항등식 ⟨g(τ), θN(τ; ν)⟩ = ⟨g(τ)η(τ)⁻⁴, θN(τ; ν)η(τ)⁴⟩ 를 이용하여 내적을 서명이 (1,4)인 테타 함수로 연결한다.
• 보르처르스 및 브루이니에르의 정규화된 테타 리프트 기법을 적용하여 내적을 테타 리프트의 특수값으로 평가한다.
• 세르 쌍대성을 통해 모의 모듈라 형식을 재구성함으로써, 해석적 부분이 유리수 계수를 가짐을 보장한다.
• 2N 또는 6N이 제곱일 경우 실 이차 수체 위에서 격자 합과 추적 사상으로 명시적 공식을 구성한다.
• 아틴-레너 인버션과 실 이차 수체의 단위군을 활용하여 계수의 산술적 성질을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무게 1/2 또는 3/2인 일변수 테타 함수의 그림자를 가진 모의 모듈라 형식을 정수 계수를 가짐으로써 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 모의 모듈라 형식의 푸리에 계수에 대해 가능한 가장 작은 분모 경계는 무엇인가?
• RQ3 기존 연구에서의 지수적 분모 경계를 구조적 방법을 통해 절대적 경계로 개선할 수 있는가?
• RQ4 이러한 모의 형식의 계수는 허위치타 함수나 라마누잔의 모의 테타 함수와 같은 알려진 산술 대상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 격자가 비등방성인 비제곱 판별식의 경우에 이 방법을 어떻게 응용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 N ∈ ℕ에 대해, 그림자가 (1/√N)θN(τ; 1)인 무게 1/2의 모의 모듈라 형식 eθ⁺_N(τ; 1)이 존재하며, 24N⁴배한 이 형식은 정수 계수를 가진다.
• 유사하게, 그림자가 (√N / 2π)θN(τ; 0)인 무게 3/2의 모의 모듈라 형식 eθ⁺_N(τ; 0)이 존재하며, 144N⁴배한 이 형식 역시 정수 계수를 가진다.
• 24N⁴ 및 144N⁴의 분모 경계는 절대적이며 색인에 따라 증가하지 않으며, 이는 이전 연구에서의 지수적 경계를 향상시킨다.
• 특히 2N 또는 6N이 제곱일 경우 실 이차 수체 위에서 격자 합과 추적 사상을 이용하여 eθ⁺_N(τ; ν)에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 이 구성은 허위치타 함수의 생성함수와 라마누잔의 모의 테타 함수 f(q), ω(q)와 같은 알려진 예를 분모가 유계인 방식으로 복원한다.
• N = 6일 경우, 이 방법은 라마누잔의 f(q)를 분모가 유계인 격자 점 합으로 명시적으로 표현하며 이론적 경계를 확인한다.