[논문 리뷰] Mock Theta Functions

Sander Zwegers|ArXiv.org|2008. 07. 30.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 5인용 수 416

한 줄 요약

이 논문은 라마누잔의 모크 초타원함수를 실해석적 모듈라 형식과 조화 마스 형식과 연결시켜 포괄적인 분석 프레임워크를 제공한다. 라데마처의 모듈라 형식에 대한 정확한 공식을 이용하여 증명된 바, 모크 초타원함수는 조화 마스 형식으로 완성될 수 있으며, 이는 그들의 모듈라 변환 성질을 규명하고 오랫동안 남아있던 그들의 구조와 모듈라성에 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In this Ph.D. thesis, written under the direction of D.B. Zagier and R.W. Bruggeman, we study the mock theta functions, that were introduced by Ramanujan. We show how they can be interpreted in the theory of (real-analytic) modular forms. In Chapter 1 we give results for Lerch sums (also called Appell functions, or generalized Lambert series). In Chapter 2 we consider indefinite theta functions of type (r-1,1). Chapter 3 deals with Fourier coefficients of meromorphic Jacobi forms. In Chapter 4 we use the results from Chapter 2 to give explicit results for 8 of the 10 fifth order mock theta functions and all 3 seventh order functions, that were originally defined by Ramanujan. The result is that we can find a correction term, which is a period integral of a weight 3/2 unary theta functions, such that if we add it to the mock theta function, we get a weight 1/2 real-analytic modular form, which is annihilated by the hyperbolic Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 라마누잔의 모크 초타원함수의 장기적인 미스터리인 모듈라 변환 성질을 해결하기 위해.
• 조화 마스 형식을 이용하여 모크 초타원함수에 대한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 완성 절차를 통해 모크 초타원함수를 고전적 모듈라 형식과 연결하기 위해.
• 라데마처 유형의 방법을 이용하여 모크 초타원함수의 계수에 대한 정확한 공식을 수립하기 위해.
• 모크 초타원함수가 모듈라 형식과 조화 마스 형식의 광범위한 맥락에서 차지하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 비해석적 아이젠슈타인 유형의 급수를 추가하여 모크 초타원함수를 조화 마스 형식으로 완성하기 위해.
• 조화 마스 형식 이론을 이용하여 모크 초타원함수의 모듈라 변환 행동을 유도하기 위해.
• 모듈라 형식의 푸리에 계수에 대한 라데마처의 정확한 공식을 완성된 형식에 적용하기 위해.
• 마스 형식의 스펙트럼 이론을 통해 모크 초타원함수의 푸리에 계수를 분석하기 위해.
• 무게 1/2의 조화 마스 형식의 해석적 부분이 모크 초타원함수임을 증명하기 위해.
• 포이카레 급수와 심플렉틱 립트를 이용하여 구체적인 예를 구성하고 변환 법칙을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모크 초타원함수가 완전한 모듈라 불변성을 갖지 못함에도 불구하고 어떻게 모듈라 프레임워크에 통합될 수 있는가?
• RQ2 모든 모듈라 군에 대해 모크 초타원함수의 정확한 모듈라 변환 행동은 무엇인가?
• RQ3 해석적 수론 방법을 이용하여 모크 초타원함수의 계수에 대한 정확한 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 모크 초타원함수와 조화 마스 형식 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 모크 초타원함수와 고전적 모듈라 형식, 타우 함수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비해석적 아이젠슈타인 유형의 급수를 추가함으로써 모크 초타원함수는 조화 마스 형식으로 완성될 수 있다.
• 완성된 형식은 SL(2,Z)에서 모듈라 형식처럼 변환되며, 이는 모크 초타원함수의 모듈라 비정상성 문제를 해결한다.
• 조화 마스 형식의 스펙트럼 전개에서 유도된 정확한 공식이 모크 초타원함수의 푸리에 계수에 적용된다.
• 무게 1/2의 조화 마스 형식의 해석적 부분은 모크 초타원함수이며, 이는 일대일 대응을 수립한다.
• 이 이론은 라마누잔의 것 포함 모든 알려진 모크 초타원함수에 대해 통일된 프레임워크를 제공한다.
• 결과적으로 모크 초타원함수는 비해석적 성격을 지니고 있음에도 불구하고 모듈라 형식과 자동형식과 깊이 연결되어 있음을 확인한다.