[논문 리뷰] Modal Translation of Substructural Logics

Takis Hartonas|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 42인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분배법칙이 성립하지 않는 부분구조 논리들—예를 들어 BCI, BCK, FL, NFL—을 일관되게, 완전하고 충실하게 정렬된 잔여 모달 논리로 변환하는 통일된 모달 번역을 제시한다. 이를 통해 모델 이론적 성질인 컴 pact성, L"owenheim-Skolem 정리, 결정 가능성 등의 성질을 이전 논리계에서 후행 논리계로 이전할 수 있다. 핵심 기여는 공통 프레임 위에서 부분구조 논리어와 모달 언어 사이의 이중 방향 번역을 통해 증명 가능성과 의미론을 유지하는 체계적인 통합이다.

ABSTRACT

In an article dating back in 1992, Kosta Došen initiated a project of modal translations in substructural logics, aiming at generalizing the well-known Gödel-McKinsey-Tarski translation of intuitionistic logic into {\bf S4}. Došen's translation worked well for (variants of) {\bf BCI} and stronger systems ({\bf BCW}, {\bf BCK}), but not for systems below {\bf BCI}. Dropping structural rules results in logic systems without distribution. In this article, we show, via translation, that every substructural (indeed, every non-distributive) logic is a fragment of a corresponding sorted, residuated (multi) modal logic. At the conceptual and philosophical level, the translation provides a classical interpretation of the meaning of the logical operators of various non-distributive propositional calculi. Technically, it allows for an effortless transfer of results, such as compactness, Löwenheim-Skolem property and decidability.

연구 동기 및 목표

• intuitionistic 논리 이외의 비분배적 부분구조 논리로 G"odel-McKinsey-Tarski 번역을 확장하기 위해.
• Dośen의 이전 모달 번역이 분배법칙이 없는 약한 체계—예를 들어 (N)FL—에서 실패한 점을 해결하기 위해.
• 부분구조 논리와 그에 대응하는 정렬된 잔여 모달 논리의 클래스 사이에 완전하고 충실한 번역을 수립하기 위해.
• 모달 논리에서 부분구조 논리계로 모델 이론적 성질—예를 들어 컴 pact성과 L"owenheim-Skolem 정리—의 이전을 가능하게 하기 위해.
• 격자 확장 표현에 기반하여 비분배적 논리 연산자의 고전적 의미론적 해석을 모달 의미론을 통해 제공하기 위해.

제안 방법

• 틀 기반 의미론을 위해 도메인과 그 이중을 각각 나타내는 종류 X와 Y를 갖는 이종의 일阶논리 언어를 정의한다.
• 부분구조 공식을 정렬된 모달 언어로 매핑하는 번역 ϕ●와 공번역 ϕ○를 구성하여 논리적 구조를 유지한다.
• 동일한 프레임 F 위에서 부분구조 논리 모델 (F, ⊩) 과 모달 논리 모델 (F, ⊧) 사이의 틀 대응 관계를 확립한다.
• 각 시스템의 완전성 정리에 기반해, 부분구조 논리에서 ϕ ⊩ ψ 이면 모달 논리에서 ϕ● ⊧ ψ● 이고, 그 역으로 ψ○ ⊧ ϕ○ 임을 증명한다.
• 종류 축소 기법을 활용해 이종 일阶논리 언어를 단일 종류의 부분집합으로 번역하여, 이중 변수 일阶논리의 유한 모델 성질을 통해 결정 가능성 결과를 도출한다.
• 격자 확장과 잔여 구조의 표현 정리들을 활용해 모달 동반 논리가 잘 정의되어 있고, 고전적 명제 논리에 잔여 부울 대수를 추가한 것과 대응됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분배법칙이 성립하지 않는 논리들—예를 들어 (N)FL과 같은—을 포함한 모든 부분구조 논리에 대해 통일된 모달 번역을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 번역이 양방향으로 증명 가능성과 타당성을 유지하여 완전하고 충실한가?
• RQ3 컴 pact성과 L"owenheim-Skolem 정리와 같은 모델 이론적 성질이 모달 동반 논리에서 원래의 부분구조 논리계로 이전 가능한가?
• RQ4 비분배적 논리 연산자의 의미론을 어떻게 고전적 방식으로 모달 수단을 통해 해석할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법은 전체 Lambek-Grishin 체계와 기타 비분배적 논리로 얼마나 넓게 확장 가능한가?

주요 결과

• 모달 번역은 완전하고 충실하다: 부분구조 논리에서 ϕ ⊢ ψ 이면 정렬된 모달 논리에서 ϕ● ⊢ ψ● 이고, 그 역도 성립한다.
• 컴 pact성은 모든 부분구조 논리에서 성립한다. 이는 정렬된 일阶논리의 컴 pact성에서 유도된다.
• 상향 및 하향 L"owenheim-Skolem 정리가 유지된다: 부분구조 문장 집합이 가산 또는 무한 모델을 가질 경우, 임의의 비가산 또는 가산 기수의 모델도 존재한다.
• 부분구조 논리의 만족 가능성 문제는 비결정적 지수 시간 내에 결정 가능하다. 이는 일阶논리의 이중 변수 부분집합의 유한 모델 성질에 기반한다.
• Gr"adel, Kolaitis, Vardi의 결과를 활용해 단일 지수 시간 복잡도로 모델 크기를 개선함으로써 효율적인 결정 가능성 검증이 가능해진다.
• 이 방법은 전체 Lambek-Grishin 미분법과 임의의 격자 확장 표현에 기반한 비분배적 논리로도 확장 가능하다.