[논문 리뷰] Model checking Branching-Time Properties of Multi-Pushdown Systems is Hard

Mohamed Faouzi Atig, Ahmed Bouajjani외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 31.

Formal Methods in Verification참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 컨텍스트 스위칭 조건 하에서 다중 푸시다운 시스템(MPDS)에 대한 분기 시간 타임 로직—특히 EF와 EX 연산자만을 포함하는 CTL의 일부 분할—모델 체킹이 본질적으로 초거대한 난이도를 가짐을 보여준다. 저자들은 공간 제한된 튜링 기계를 MPDS로 환원함으로써 비원소적 하한을 확립하여, 심지어 제한된 분할에 대해서도 문제의 복잡도를 피할 수 없음을 입증한다.

ABSTRACT

We address the model checking problem for shared memory concurrent programs modeled as multi-pushdown systems. We consider here boolean programs with a finite number of threads and recursive procedures. It is well-known that the model checking problem is undecidable for this class of programs. In this paper, we investigate the decidability and the complexity of this problem under the assumption of bounded context-switching defined by Qadeer and Rehof, and of phase-boundedness proposed by La Torre et al. On the model checking of such systems against temporal logics and in particular branching time logics such as the modal $μ$-calculus or CTL has received little attention. It is known that parity games, which are closely related to the modal $μ$-calculus, are decidable for the class of bounded-phase systems (and hence for bounded-context switching as well), but with non-elementary complexity (Seth). A natural question is whether this high complexity is inevitable and what are the ways to get around it. This paper addresses these questions and unfortunately, and somewhat surprisingly, it shows that branching model checking for MPDSs is inherently an hard problem with no easy solution. We show that parity games on MPDS under phase-bounding restriction is non-elementary. Our main result shows that model checking a $k$ context bounded MPDS against a simple fragment of CTL, consisting of formulas that whose temporal operators come from the set ${\EF, \EX}$, has a non-elementary lower bound.

연구 동기 및 목표

• 다중 푸시다운 시스템(MPDS)에 대한 분기 시간 논리, 예를 들어 CTL과 같은 논리에 대한 결정 가능성과 복잡도를 조사하는 것.
• 유한 단계 MPDS에서의 페리티 게임의 높은 복잡도가 피할 수 없는지 여부를 규명하는 것.
• 유한 컨텍스트 스위칭 조건 하에서 MPDS에 대한 모델 체킹에 대한 비원소적 하한을 설정하는 것.
• EF 및 EX 연산자만을 포함하는 더 단순한 CTL 분할이 여전히 높은 복잡도를 초래하는지 분석하는 것.
• 심지어 제약된 시간 논리 분할이라도 동시 재귀 프로그램 검증에서 본질적으로 어려운 문제로 이어짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 공간 복잡도가 Tow(k)인 공간 제한된 비결정성 튜링 기계를 유한 컨텍스트 스위칭 조건을 가진 다중 푸시다운 시스템(MPDS)으로 환원하는 것.
• TM의 계산을 스택에 구성 상태를 인코딩하고 서브루틴을 사용해 전이를 검증함으로써 계산을 시뮬레이션하는 MPDS를 구성하는 것.
• k-구성 상태 검증, 구성 상태 간도달 가능성 검사, 후속 구성 상태 검증을 스택 연산을 통해 수행하는 전용 서브루틴을 활용하는 것.
• 입력 문자열이 TM에 의해 수락됨을 표현하기 위해 EF 및 EX 연산자만을 포함하는 CTL 공식을 사용하는 것.
• EU 연산자를 제거하기 위한 변환을 적용하여, EF 및 EX로 제한된 분할에서도 비원소적 하한이 유지됨을 보여주는 것.
• 스택 기반 구성 상태를 사용해 큰 공간 복잡도를 시뮬레이션하기 위해 스톡마이어의 작업에서 영감을 얻은 카운터 유사 인코딩 기법을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 컨텍스트 스위칭 조건 하에서 MPDS에 대한 분기 시간 논리, 예를 들어 CTL에 대한 모델 체킹은 결정 가능한가?
• RQ2 유한 단계 MPDS에서의 페리티 게임의 비원소적 복잡도는 제한된 CTL 분할에 대해서도 유지되는가?
• RQ3 EF 및 EX과 같은 더 단순한 시간 연산자로 제한함으로써 모델 체킹의 높은 복잡도를 피할 수 있는가?
• RQ4 MPDS에 대한 모델 체킹의 비원소적 하한은 본질적인가, 아니면 구조적 제약 조건으로 피할 수 있는가?
• RQ5 공간 제한된 튜링 기계를 컨텍스트 스위칭 수가 유한한 MPDS로 인코딩하여 복잡도 하한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• EF 및 EX 연산자만을 포함하는 CTL 분할에 대해 k-컨텍스트 유한 MPDS의 모델 체킹은 비원소적 하한을 가진다.
• 이 구성은 추가 상태를 일정 수로 사용하며 최대 컨텍스트 스위칭 수를 4 + 2k로 제한한다.
• CTL 공식의 크기는 O(2k + |ΣM|6)이며, 이는 k에 대해 지수적일 뿐만 아니라 큰 공간 복잡도를 인코딩하는 데서 비롯된 복잡도를 반영한다.
• 환원을 통해 EF 및 EX만을 포함하는 CTL의 분할이 공간 제한된 튜링 기계의 복잡도를 충분히 포괄할 수 있음을 보여준다.
• EU 연산자를 제거한 후에도 결과가 유지됨을 확인하여, 하한이 문법적 단순화에 대해 강건함을 입증한다.
• 증명 기법은 Cachat와 Walukiewicz의 고차원 푸시다운 시스템 작업에서 확장된 스택 기반 카운터를 사용한 튜링 기계 구성 상태의 인코딩에 기반한다.