[논문 리뷰] Model-free bounds on Value-at-Risk using partial dependence information

Thibaut Lux, Antonis Papapantoleon|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 01.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 표준 프레셰-후프딩 경계를 개선하고 최적화 기법을 적용하여, 극단가치 데이터, 부분 코풀라 지식, 또는 기준 코풀라에 대한 근접도와 같은 부분적 종속성 정보를 활용해 누적 위험에 대한 모델 자유 경계를 도출한다. 주요 기여는 종속성 정보가 가용할 경우 마진 분포만을 고려하는 방법보다 훨씬 더 날카운 VaR 경계를 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

We derive bounds on the distribution function, therefore also on the Value-at-Risk, of $\varphi(\mathbf X)$ where $\varphi$ is an aggregation function and $\mathbf X = (X_1,\dots,X_d)$ is a random vector with known marginal distributions and partially known dependence structure. More specifically, we analyze three types of available information on the dependence structure: First, we consider the case where extreme value information, such as the distributions of partial minima and maxima of $\mathbf X$, is available. In order to include this information in the computation of Value-at-Risk bounds, we establish a reduction principle that relates this problem to an optimization problem over a standard Fr\'echet class, which can then be solved by means of the well-known standard bounds or the rearrangement algorithm. Second, we assume that the copula of $\mathbf X$ is known on a subset of its domain, and finally we consider the case where the copula of $\mathbf X$ lies in the vicinity of a reference copula as measured by a statistical distance. In order to derive Value-at-Risk bounds in the latter situations, we first improve the \FH bounds on copulas so as to include this additional information on the dependence structure. Then, we translate the improved \FH bounds to bounds on the Value-at-Risk using the so-called improved standard bounds. In numerical examples we illustrate that the additional information typically leads to a considerable improvement of the bounds compared to the marginals-only case.

연구 동기 및 목표

• 모르는 마진 분포를 가진 랜덤 벡터에 대해 부분 종속성 정보만 제공될 경우, 더 날카운 모델 자유 VaR 경계를 도출하는 것.
• 부분 최소 및 최대의 분포와 같은 극단가치 정보를 VaR 경계 계산에 통합하는 것.
• 기본 프레셰-후프딩 경계를 부분 코풀라 지식 또는 기준 코풀라로부터의 통계적 거리 통합을 통해 개선하는 것.
• 마진 분포를 초월한 구조적 종속성 정보를 활용해 위험 관리에서 VaR 추정 정확도를 향상시키는 것.
• 부분 종속성 정보가 마진 분포에만 기반한 경계에 비해 상당한 향상이 있음을 수치적으로 입증하는 것.

제안 방법

• 극단가치 정보가 있는 VaR 경계 계산 문제를 표준 프레셰 클래스 위의 최적화 문제로 변환하기 위한 감소 원칙을 수립한다.
• 영역의 일부에 대한 부분 코풀라 정보를 통합하여 표준 프레셰-후프딩 경계를 개선한다.
• 개선된 코풀라 경계를 개선된 표준 경계 방법을 통해 더 날카운 VaR 경계로 변환한다.
• 통계적 거리로 진짜 코풀라가 기준 코풀라에 얼마나 가까운지 측정하고, 이를 경계 유도 프레임워크에 통합한다.
• 프레셰 클래스 위의 최적화 문제를 해결하기 위해 재정렬 알고리즘을 적용한다.
• 실제 종속성 구조를 사용한 수치 예제를 통해 방법을 검증하고, 부분 종속성 정보 유무에 따라 경계를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 종속성 정보(예: 극단가치 분포)가 가용할 경우 VaR 경계는 어떻게 더 날카롭게 만들 수 있는가?
• RQ2 영역의 일부에 대한 부분 코풀라 지식은 전체 코풀라 무지 상태보다 VaR 경계에 어떤 방식으로 향상되는가?
• RQ3 통계적 거리로 측정한 진짜 코풀라와 기준 코풀라 간의 근접도는 VaR 경계 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 마진 분포를 초월한 종속성 구조를 통합할 경우 VaR 경계의 날카움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기본 프레셰-후프딩 경계는 체계적으로 구조적 종속성 정보를 통합할 수 있도록 개선될 수 있는가?

주요 결과

• 부분 최소 및 최대의 분포와 같은 극단가치 정보를 포함하면, 마진 분포에만 기반한 경계보다 상당히 더 날카운 VaR 경계를 도출할 수 있다.
• 영역의 일부에 대한 부분 코풀라 지식은 전체 코풀라가 알려지지 않은 상태에서도 VaR 경계의 날카움에 의미 있는 향상을 가능하게 한다.
• 진짜 코풀라가 통계적 거리 기준으로 기준 코풀라에 가까울 경우, 모델 자유 마진 분포만을 고려한 경우보다 상당히 더 날카운 VaR 경계를 도출할 수 있다.
• 제안된 방법은 개선된 경계 형식을 통해 구조적 종속성 정보를 통합함으로써 표준 프레셰-후프딩 경계를 일관되게 능가한다.
• 수치 예제는 추가 종속성 정보가 VaR 경계의 너비를 줄여 위험 평가 정밀도가 향상됨을 확인한다.
• 감소 원칙은 복잡한 부분 종속성 제약 조건 하에서 최적화 문제를 해결하기 위해 기존 도구인 재정렬 알고리즘을 활용할 수 있도록 한다.