[논문 리뷰] Model-Independent Pricing of Asian Options via Optimal Martingale Transport

Florian Stebegg|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 최적 마링갈 운반 이론을 활용하여 아시안 옵션 가격에 대한 모델 독립적 경계를 개발한다. 이는 이산 및 연속 시간 아시안 옵션에 대해 한 개 또는 두 개의 근거 분포를 갖는 극한 가격 모델의 기하학적 특성화를 제공하며, cost 함수로 |x + y|를 사용하는 최적 운반 문제로 문제를 축소시킨다. 이는 기초 자산에 대한 특정 확률 모델을 가정하지 않고도 강건한 가격 범위를 확립한다.

ABSTRACT

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung von optimalen modellunabhängigen (robusten) Grenzen für den Preis einer Asiatischen Option mit diskreter beziehungsweise stetiger Durchschnittsbildung. Es werden geometrische Charakterisierungen der maximierenden und minimierenden Modelle zur Bepreisung von verschiedenen Typen von Asiatischen Optionen auf Prozessen in diskreter und stetiger Zeit hergeleitet. In diskreter Zeit wird das Problem auf die Lösung des Problems des optimalen Martingaltransports für die Kostenfunktion $|x+y|$ zurückgeführt. Im zeitstetigen Fall betrachten wir die Fälle mit einem bzw. zwei vorgegebenen Randverteilungen. Wir beschreiben die Pfadformen des maximierenden Modells für beide dieser Fälle, als auch die Pfadform des minimierenden Modells für den Fall mit einer gegebenen Randverteilung. Der Maximierer für das Problem mit zwei Randverteilungen wird auf das zeitdiskrete Problem zurückgeführt.

연구 동기 및 목표

• 기초 자산에 대한 특정 확률 모델을 가정하지 않고도 모델 리스크를 해결하기 위해 강건하고 모델 독립적인 옵션 가격 경계를 도출하는 것.
• 주어진 근거 분포 하에서 가장 높고 가장 낮은 가능한 옵션 가격을 유도하는 극한 마링갈 측도를 특성화하는 것.
• 이산 시간에서 연속 시간 설정으로의 최적 운반 기법을 확장하여 경로 의존적 옵션에 적용하는 것.
• 한 개 또는 두 개의 고정된 근거 분포를 갖는 아시안 옵션 맥락에서 최적 운반 계획의 기하학적 해를 제공하는 것.
• 근사 및 극한 추론을 통해 연속 시간 문제를 이산 시간 문제와 연결하는 것.

제안 방법

• 연속 경로 위에서의 모델 독립적 가격 설정 문제를 연속 시간 마링갈 최적 운반 문제로 공식화한다.
• 이산 시간 문제를 cost 함수 |x + y|에 대한 최적 마링갈 쌍체를 찾는 것으로 축소한다.
• 스코로호드 임베딩과 최적 운반의 이중성을 활용하여 극한 측도를 특성화한다.
• 갈리콘, 헨리-라보르데르, 투지의 마링갈 최적 운반에 관한 결과를 복잡한 옵션에 적용한다.
• 연속 시간에서 자산 수익률의 경로 기반 스토크라스틱 적분과 르베그-스틸체스 적분을 활용하여 자기 자금 조정 전략을 정의한다.
• 자산 가격과 운반 계획 간의 상대적 순서에 대한 경우 분석을 통해 최적성의 필요 및 충분 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 평균화를 갖는 아시안 옵션에 대한 모델 독립적 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ2 이산 시간에서 아시안 옵션에 대해 극한 마링갈 측도는 어떻게 기하학적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 한 개 또는 두 개의 고정된 근거 분포를 갖는 연속 시간에서 최적 운반 계획의 구조는 어떠한가?
• RQ4 이산 시간 결과는 연속 평균화를 갖는 아시안 옵션의 연속 시간 사례와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 cost 함수 |x + y|를 사용하여 운반 이론을 활용해 최적 가격 설정 모델을 명시적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 평균화 지점이 있는 이산 시간 아시안 옵션에 대한 최적 마링갈 운반 계획은 마링갈 제약 조건 하에서 |x + y|의 기대값을 최소화하거나 최대화하는 데 해당한다.
• 한 개의 근거 분포를 갖는 연속 시간의 경우, 최대화 모델은 마링갈 성질를 유지하고 평균 수익을 극대화하는 특정 쌍체에 의해 특성화된다.
• 두 개의 근거 분포를 갖는 연속 시간의 경우, 극한 모델은 두 개의 근거 분포를 갖는 이산 시간 문제와 극한 근사를 통해 관련된다.
• 한 근거 분포의 경우 최소화 모델은 최적 운반 이중성과 공분포에 대한 기하학적 제약 조건을 활용하여 명시적으로 특성화된다.
• 논문은 최적 운반 계획이 기초 자산 가격의 상대적 순서와 평균에서의 편차의 부호에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다.
• 가격 수준과 운반 가중치를 포함하는 특정 부등식을 만족할 경우에만 최적성이 성립함을 보여주는 사례 분석을 통해 극한 운반 계획(BTP)의 완전한 분류가 제공된다.