[논문 리뷰] Model order reduction of hyperbolic systems at the example of district heating networks

Markus Rein, Jan Möhring외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 08.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주로 열 공급 네트워크의 초구형 미분대수방정식(DAE)에 대해 안정적이고 계산 효율성이 높은 축소모델(Reduced-Order Model, ROM)을 제안한다. 이는 매개변수화된 선형 시간변화(LTV) 공식화와 주파수 도메인 그리디 갈레르킨 투영을 활용하여 달성된다. 이 방법은 전역 에너지 행렬을 통해 리아푸노프 안정성을 확보하며, 전체 순서 모델 대비 최대 10배 빠른 속도 향상을 이룩하면서도 최적 제어에 관련된 오차 범위 내에서 정확성을 유지한다.

ABSTRACT

In this article a framework for the generation of a computationally fast surrogate model for district heating networks is presented. An appropriate model results in an index-1 hyperbolic, differential algebraic equation quadratic in state, exhibiting several hundred of outputs to be approximated. We show the existence of a global energy matrix which fulfills the Lyapunov inequality ensuring stability of the reduced model. By considering algebraic variables as parameters to the dynamical transport, the reduction of a linear, time varying (LTV) problem results. We present a scheme to efficiently combine linear reductions to a global surrogate model using a greedy strategy in the frequency domain. The numerical effectiveness of the scheme is demonstrated at different, existing, large scale networks.

연구 동기 및 목표

• 고차원 출력을 가진 초구형 DAE로 제어되는 대규모 도시 난방 네트워크를 위한 안정적이고 빠른 서브스티튜션 모델을 개발한다.
• 모델 순서 감소(MOR)를 위한 초구형 시스템에서의 느린 특이값 감소와 비선형성 문제를 해결한다.
• 전역적으로 구성된 에너지 행렬을 통해 감소된 모델의 안정성과 패assing 성질을 유지한다.
• 선형 감소를 네트워크 하위 구조 간에 조합하여 모델 예측 제어를 위한 효율적인 온라인 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 복잡한 역류 및 고리형 구조를 포함한 실제 도시 네트워크에서의 효과를 입증한다.

제안 방법

• 도시 난방 네트워크를 관류점에서의 에너지 보존을 위한 대수적 제약 조건을 가진 인덱스-1 초구형 DAE로 공식화한다.
• 시간에 따라 변하는 유량 속도를 매개변수로 간주하여 각 파이프라인에 대해 매개변수화된 선형 시간변화(LTV) 시스템으로 변환한다.
• 리아푸노프 부등식을 만족하는 전역 에너지 행렬 Q를 구성하여 감소된 모델의 안정성을 확보한다.
• 입력 신호를 샘플링하기 위해 주파수 도메인에서 그레디 알고리즘을 적용하여 최적의 감소된 차원 기저를 생성한다.
• 주파수 도메인 샤프샷을 사용한 갈레르킨 투영을 통해 각 하위네트워크에 대해 안정적이고 저차원의 ROM을 구성한다.
• 유량 방향이 뒤바뀌는 복잡한 네트워크를 하위 네트워크로 분해하고, 방향이 일정한 부분만 감소시키며, 방향 전환 부분은 전체 순서 모델로 처리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 도시 난방 네트워크에서 발생하는 초구형 DAE에 대해 안정적이고 저차원의 서브스티튜션 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비선형성과 고차원성에도 불구하고 감소된 모델의 리아푸노프 안정성을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ3 전체 네트워크에 걸쳐 안정성을 보장하기 위해 전역 에너지 행렬을 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 주파수 도메인 그리디 샘플링 전략은 최소한의 감소 차원으로도 동적 특성을 얼마나 효과적으로 포착하는가?
• RQ5 루프와 유량 역류를 포함한 실제 도시 네트워크에서 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 전체 순서 모델 대비 최대 10배의 시뮬레이션 런타임 향상을 이룩하면서도 최적 제어에 관련된 오차 범위 내에서 정확성을 유지한다.
• 전역 에너지 행렬 Q는 리아푸노프 부등식을 만족하여 모든 네트워크 구성에서 감소된 모델의 점근적 안정성을 보장한다.
• 32명의 소비자가 있는 거리 네트워크에서 감소된 모델은 샘플 내 및 샘플 외 입력에 대해 높은 정확도를 달성하며, 런타임은 세포 수의 제곱근에 비례한다.
• 6개의 고리와 유량 역류를 포함한 대규모 333명 소비자 도시 지역 네트워크에서, 이 방법은 역류 부분을 분리하여 나머지 부분만 감소시킴으로써 복잡한 동역학을 성공적으로 포착한다.
• 공간 해상도가 높아질수록 속도 향상이 증가하여, 특히 강한 동기화 특성을 띤 스티프 시스템에서 감소된 모델이 더 효율적임을 보여준다.
• 그레디 주파수 도메인 샘플링 전략은 방향 전환이 일어나는 비선형 시스템에서도 안정적이고 정확한 ROM을 생성할 수 있으며, 이 경우 기존의 표준 MOR 기법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.