[논문 리뷰] Model Reduction by Rational Interpolation

Christopher Beattie, Serkan Gugercin|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 07.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 86인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 대규모 선형 동적 시스템을 위한 보간 기반 모델 축소 방법에 대한 종합적인 서베이를 제시하며, 효율적이고 정확한 축소 모델을 가능하게 하는 유리 보간 기법에 초점을 맞춘다. 선택된 주파수 및 매개변수 점에서 전이 함수를 보간함으로써, 페트로프-갈레르킨 투영을 통해 $\mathcal{H}_2$-최적 또는 가중 최적 근사가 달성되며, 이는 매개변수화된 시스템과 미분대수방정식 시스템으로의 확장도 포함된다.

ABSTRACT

The last two decades have seen major developments in interpolatory methods for model reduction of large-scale linear dynamical systems. Advances of note include the ability to produce (locally) optimal reduced models at modest cost; refined methods for deriving interpolatory reduced models directly from input/output measurements; and extensions for the reduction of parametrized systems. This chapter offers a survey of interpolatory model reduction methods starting from basic principles and ranging up through recent developments that include weighted model reduction and structure-preserving methods based on generalized coprime representations. Our discussion is supported by an assortment of numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 대규모 선형 동적 시스템을 위한 투영 기반 보간 기반 모델 축소 방법에 대한 통합적 개요 제공.
• 표준 상태공간 형태를 넘어서 지연, 다항식 구조, 그리고 미분대수방정식을 포함한 시스템으로 보간 기반 방법을 확장.
• $\mathcal{H}_2$-최적 모델 축소를 위한 유리 보간 기법 제시, 가중 및 매개변수화된 확장 포함.
• 내부 시스템 역학 정보가 필요 없이 입력/출력 측정치만으로도 작동하는 데이터 기반 프레임워크 개발.
• 일반화된 쌍대 인수 분해와 다중 주파수 및 매개변수 점에서의 매개변수 보간을 활용한 구조 유지 모델 축소 가능화.

제안 방법

• 선택된 주파수 점에서 전이 함수의 유리 보간을 사용하여 페트로프-갈레르킨 투영을 통해 축소 모델을 구성.
• 보간 점에서 시스템의 전이 함수 및 그 도함수로부터 유도된 오른쪽 및 왼쪽 투영 기저를 활용.
• 로엔러 프레임워크를 적용하여 내부 시스템 행렬이 필요 없이 입력/출력 측정치로부터 직접 축소 모델을 구성.
• 다중 매개변수 값에서의 보간을 통해 매개변수화된 시스템으로의 확장, 양측 투영을 통한 매개변수 기울기의 암묵적 활용.
• 일반화된 쌍대 인수 분해를 활용하여 시스템 구조를 유지하고, 구조 유지 모델 축소를 가능하게 함.
• 랭크-노출 QR 또는 SVD를 적용하여 투영 기저의 선형 종속 성분을 제거함으로써 최종 축소 모델 차원을 감소.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연, 다항식 구조, 그리고 미분대수방정식을 포함한 시스템으로 보간 기반 모델 축소를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 보간 기반 축소 모델이 $\mathcal{H}_2$ 최적성 또는 가중 $\mathcal{H}_2$ 최적성을 확보하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 내부 시스템 역학 정보 없이 입력/출력 측정치로부터 직접 축소 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ4 다양한 매개변수 값에서 정확도를 유지하면서 매개변수화된 시스템을 효율적으로 축소할 수 있는가?
• RQ5 매개변수 기울기는 보간 과정에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 명시적 기울기 계산 없이도 이를 일치시킬 수 있는가?

주요 결과

• 선택된 주파수 점에서 전이 함수와 그 도함수를 일치시킴으로써 $\mathcal{H}_2$-최적 모델 축소를 달성하며, 국소 최적성 보장.
• 매개변수화된 시스템의 경우, 다중 주파수 및 매개변수 점에서의 보간을 통해 기울기 정보 없이도 전이 함수 값, 도함수, 매개변수 기울기를 일치시킬 수 있음.
• 수치 예제에서, 각 부분공간당 하나의 추가 벡터를 사용하여 $s = 1$ 에서 전이 함수와 그 도함수를 일치시킴으로써 $\mathbf{\mathsf{p}} = [0.2~{}0.3]^T$ 에서 정확한 매개변수 기울기 일치 달성.
• 일반화된 쌍대 인수 분해의 활용은 패assing 또는 안정성과 같은 시스템 성질을 유지하는 모델 축소를 가능하게 함.
• 로엔러 프레임워크를 통해 입력/출력 측정치로부터 직접 축소 모델을 구성함으로써 데이터 기반 모델 축소를 실현하고, 상태공간 실현이 필요 없음.
• 투영 기저에 대한 랭크-노출 기법을 적용하면, 기저의 열이 선형 종속일 경우에도 정확도를 유지하면서 최종 축소 모델 차원을 감소시킬 수 있음.