[논문 리뷰] Model reduction of a parametrized scalar hyperbolic conservation law using displacement interpolation

Donsub Rim, Kyle T. Mandli|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 워셔스타인 거리 프레임워크 내에서 이동 보간을 사용하여 매개변수화된 스칼라 비선형 보존법에 대한 모델 순서 감소 기법을 제안한다. 단조성 재배열을 통해 유도된 이동 지도를 이용해 국소 기저 함수를 구성함으로써, 솔루션의 동역학을 고정밀도로 포착할 수 있으며, 충격이 존재하는 문제(예: 충격이 있는 매개변수화된 버거스 방정식)에 대해 효율적인 불확실성 정량화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a model reduction technique for parametrized partial differential equations arising from scalar hyperbolic conservation laws. The key idea of the technique is to construct basis functions that are local in parameter and time space via displacement interpolation. The construction is motivated by the observation that the derivative of solutions to hyperbolic conservation laws satisfy a contractive property with respect to the Wasserstein metric [Bolley et al. J. Hyperbolic Differ. Equ. 02 (2005), pp. 91-107]. We will discuss the approximation properties of the displacement interpolation, and show that it can naturally complement linear interpolation. Numerical experiments illustrate that we can successfully achieve the model reduction of a parametrized Burgers' equation, and that the reduced order model is suitable for performing typical tasks in uncertainty quantification.

연구 동기 및 목표

• 기존의 전역 저질서 근사에 기반한 감소 순서 모델(ROM)이 어려운 비선형 보존법에서의 느린 콜모고로프 N-폭발 감소 문제를 해결한다.
• 해당 문제의 솔루션 농도가 매개변수 및 시간에 따라 공간적으로 변화함에 따라 표준 투영 기반 ROM이 실패하는 한계를 극복한다.
• 온라인 적응 절차나 추가적인 고정밀 모델 쿼리 없이도 매개변수-시간 공간 내에서 국소 기저를 구성한다.
• 불연속 솔루션에 대해 평균 및 분산 추정, 충격 위치/높이 분석, 서rogate 모델링과 같은 신뢰할 수 있는 불확실성 정량화(UQ) 작업을 가능하게 한다.
• 특히 이동 보간을 활용한 최적 운반 구조를 활용한 이론적이고 계산 가능한 프레임워크를 구축하여 스칼라 비선형 시스템에서의 ROM 구축을 가능하게 한다.

제안 방법

• 안정적인 보간을 보장하기 위해 서명 조건을 만족하는 삼각형 메esh로 매개변수-시간 공간을 이산화한다.
• 모나르드-칸토로비치 문제의 해인 단조성 재배열 기반 이동 보간을 사용하여 1차원에서 솔루션 스냅샷 간의 이동 지도를 계산한다.
• 이동 지도를 통해 솔루션 상태를 보간함으로써 국소 기저 함수를 구성하며, 선형 보간 대비 뛰어난 근사 성질을 보임을 입증한다.
• Galerkin 투영을 사용하여 매개변수화된 PDE(버거스 방정식)를 이동 보간 기반 기저에 투영함으로써 감소 순서 모델을 구성한다.
• 추가로 계산 비용을 줄이기 위해 표준 차원 감소 기법(예: 적절한 직교 분해)을 적용하여 기저를 압축한다.
• 식 (5.13)에 제시된 솔루션에 의존하는 변수 변환을 활용하여 온라인 단계에서 Galerkin 업데이트의 안정성과 정확도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워셔스타인 거리 프레임워크 내에서 이동 보간이 기존의 선형 또는 POD 기반 방법보다 비선형 보존법에 대해 더 효과적인 기저 구성 방법이 될 수 있는가?
• RQ2 이동 지도로부터 유도된 국소 기저가 매개변수화된 비선형 편미분방정식에서 근사 정확도 및 수렴성 측면에서 전역 기저 방법에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 감소 순서 모델이 매개변수 변화에 따라 충격의 위치 및 높이와 같은 충격 역학을 얼마나 정확하게 표현할 수 있는가?
• RQ4 이동 보간 프레임워크가 솔루션의 관심 있는 양에 대한 평균, 분산 및 공동 밀도 추정과 같은 불확실성 정량화 작업을 지원할 수 있는가?
• RQ5 불연속적 솔루션에도 불구하고 충격 위치가 매개변수에 대해 매끄러운 함수인지 여부를 ROM이 효과적으로 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 이동 보간 방법은 매개변수화된 버거스 방정식에 대해 고정밀도 모델 감소를 달성하였으며, 감소 순서 모델이 매개변수 변화에 따라 충격 형성 및 전파를 성공적으로 포착하였다.
• 이 방법은 솔루션의 평균 및 분산을 정확하게 추정할 수 있었으며, 특히 충격 위치가 매개변수 변화에 민감하게 반응함에 따라 분산이 충격 부근에 집중된 것으로 나타났다.
• 충격 위치 및 높이가 매개변수 μ₁ 및 μ₂에 대해 매끄러운 함수로 나타나며, 5차 다항 회귀를 사용한 정확한 서rogate 모델링이 가능함을 확인하였다.
• 공동 커널 밀도 추정을 통해 작은, 느린 충격의 경우 충격 높이와 위치 사이에 강한 상관관계가 있었으나, 큰, 빠른 충격의 경우 상관관계가 약해졌다.
• 이동 보간 프레임워크는 특히 비선형적이고 불연속적인 솔루션 특징을 포착하는 데 있어 선형 보간보다 뛰어난 근사 성질을 보였다.
• 결과적으로 유도된 ROM는 몬테카를로 샘플링 및 UQ 작업에 성공적으로 활용되었으며, 비선형 편미분방정식에서 실용적인 불확실성 정량화에 적합함을 확인하였다.