[논문 리뷰] Modeling financial assets without semimartingales

Rosanna Coviello, Francesco Russo|ArXiv.org|2006. 06. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 가격 과정이 반마딩글레일성질을 갖지 않더라도 제한된 거래 전략 하에서 비반마딩글레일성 가격 과정을 허용하는 금융 모델링 프레임워크를 개발한다. A-마딩글레일과 프ор워드 적분을 사용함으로써 저자들은 내부자에 의한 기대효용 최적화 조건을 수립하며, 특히 유한 변동성 또는 분수 차수 브라운 운동 역학에서 반마딩글레일성 성질이 없더라도 최적 포트폴리오가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper does not suppose a priori that the evolution of the price of a financial asset is a semimartingale. Since possible strategies of investors are self-financing, previous prices are forced to be finite quadratic variation processes. The non-arbitrage property is not excluded if the class ${\cal A}$ of admissible strategies is restricted. The classical notion of martingale is replaced with the notion of ${\cal A}$-martingale. A calculus related to ${\cal A}$-martingales with some examples is developed. Some applications to the maximization of the utility of an insider are expanded.

연구 동기 및 목표

• 가격 과정이 반마딩글레일이 아니라는 가정 없이도 금융 이론을 개발하는 것.
• 제한된 전략 클래스 하에서 고전적 마딩글레일 개념을 A-마딩글레일로 대체하는 것.
• 반마딩글레일성 동역학을 갖는 시장에서 비상업성 조건 및 기대효용 최적화 조건을 설정하는 것.
• 반마딩글레일성 가격 과정 하에서 내부자 거래 및 기대효용 최적화를 분석하는 것.
• 기존의 반마딩글레일성 가정을 초월해 기대효용 최적화 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 비반마딩글레일 환경에서 고전적 마딩글레일 개념의 대체로 A-마딩글레일을 도입한다.
• 자기자본 포트폴리오를 정의하기 위해 프로워드 적분(기호로 ∫ Y d−X)을 사용한다.
• 비반마딩글레일성 통합자 처리를 위해 정규화 및 프로워드 적분을 통한 확률 미적분을 적용한다.
• 반마딩글레일성 성질을 요구하지 않고도 아웃라이어를 배제하기 위해 허용 전략(클래스 A)에 제약을 가한다.
• A+-마딩글레일 및 G-브라운 운동 특성화를 통해 최적 포트폴리오에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• Qπ 및 pπ = EQπ[dP/dQπ | G·]를 통한 측도 변화를 이용해 다양한 확률 측도 하에서 기대효용을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가격 과정이 반마딩글레일이 아니라는 가정 없이도 비상업성 가격 설정과 기대효용 최적화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 전략 클래스 A에 어떤 조건이 성립해야 S가 반마딩글레일이 아니어도 비상업성이 보장되는가?
• RQ3 가격 과정이 분수 차수 브라운 운동과 같은 유한 변동성 과정이라면 기대효용 최적화는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 비반마딩글레일 시장에서 비대칭 정보를 가진 내부자가 최적 포트폴리오를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 전략 클래스가 제한되어 있을 경우, 유한 기대효용이 반마딩글레일 성질을 암시한다는 고전적 결과를 우회할 수 있는가?

주요 결과

• 가정 5.32 하에서, A+ 내 최적 포트폴리오가 존재하는 것은 A−V −∫₀· πtd[A]t 가 Qπ 하에서 A+-마딩글레일이 되는 것과 필요충분이다.
• 로그형 효용 함수의 경우, 측도 Qπ 는 P 와 일치하여 마딩글레일 조건이 단순화된다.
• A+ 가 가정 D 를 만족하면, π 가 최적임은 A−V −∫₀· βtd[A]t 가 P 하에서 G-마딩글레일이 되는 것과 필요충분이다. 여기서 β 는 pπ 와 d[pπ,A]/d[A] 를 통해 정의된다.
• 기하 분수 차수 브라운 운동 예제에서, π 가 최적임은 Qπ 하에서 W −∫₀· (rt−μt)/σ + πtσ dt 가 A+-마딩글레일이 되는 것과 필요충분이다.
• π 가 최적일 경우, fW = W −∫₀· αtdt 는 P 하에서 G-브라운 운동이 되며, 이때 α 는 πσ 와 드리프트 보정을 포함한다.
• 최적 포트폴리오 π 의 존재성은 h(·,L) + ∫₀· (μ−r)/σ dt 가 Θ(L) 에 속하는 것과 동치이며, 이는 [18]의 결과를 일반화하며 W 의 A+-반마딩글레일 성질이 핵심임을 보여준다.