[논문 리뷰] Modeling Linear Inequality Constraints in Quadratic Binary Optimization for Variational Quantum Eigensolver

Miguel Paredes Quiñones, Catarina Junqueira|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가용성 제약 조건을 직접 양자 회로에 통합하여 타당한 해만 탐색하도록 보장하는 변분 양자 고유값 알고리즘(Variational Quantum Eigensolver, VQE)을 위한 맞춤형 변분 형식(TVFs)을 제안한다. 제약 조건을 제어 회전과 얽힘 구조를 통해 인코딩함으로써, 문제 크기와 관계없이 일정한 수의 파라미터를 유지하여 회로 깊이를 줄이고 수렴 속도를 향상시킨다. 이는 시설 위치 문제와 선형 배정 문제에서 2-Local 및 QAOA 방법보다 더 적은 게이트 수와 더 빠른 최적화를 통해 입증되었다.

ABSTRACT

This paper introduces the use of tailored variational forms for variational quantum eigensolver that have properties of representing certain constraints on the search domain of a linear constrained quadratic binary optimization problem solution. Four constraints that usually appear in several optimization problems are modeled. The main advantage of the proposed methodology is that the number of parameters on the variational form remain constant and depend on the number of variables that appear on the constraints. Moreover, this variational form always produces feasible solutions for the represented constraints differing from penalization techniques commonly used to translate constrained problems into unconstrained one. The methodology is implemented in a real quantum computer for two known optimization problems: the Facility Location Problem and the Set Packing Problem. The results obtained for this two problems with VQE using 2-Local variational form and a general QAOA implementation are compared, and indicate that less quantum gates and parameters were used, leading to a faster convergence.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨터에서 선형 제약 조건이 있는 이차 이진 최적화(LCQBO) 문제를 효율적으로 해결하는 데 도전한다.
• VQE에서의 고전적 최적화의 계산 비용을 타당한 해만 탐색하도록 검색 공간을 제한하여 감소시킨다.
• 제약 조건을 내재적으로 만족하는 변분 형식을 개발하여 페널티 방법에 의해 타당하지 않은 해로 수렴할 수 있는 문제를 방지한다.
• 표준 VQE 앤사즈인 2-Local 및 QAOA와 비교해 더 빠른 수렴 속도와 더 낮은 회로 깊이를 달성함을 보여준다.
• 특정 유형의 선형 제약 조건(등식 및 부등식)을 앤사즈 구조에 직접 통합할 수 있는 체계적인 방법을 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 네 가지 일반적인 제약 유형—등식, 부등식, 그 조합—을 직접 양자 회로 구조에 통합하는 맞춤형 변분 형식(TVFs)을 설계한다.
• 등식 제약 조건의 경우, 큐비트 블록의 합이 1이 되도록 보장하기 위해 제어-역류(Ry) 회전과 CNOT 게이트를 사용한다.
• 부등식 제약 조건의 경우, 변수 합의 상한을 표현하기 위해 제어 회전과 엔트레일러의 재귀적 구성 구조를 사용하여 전체 회로 동안 타당성을 유지한다.
• 고정 깊이의 회전 및 엔트레일러 블록을 재사용함으로써, 변수 수와 관계없이 제약 조건 유형당 파라미터 수가 일정하게 유지되도록 한다.
• TVF는 두 단계 과정으로 구성된다: 첫째, 큐비트를 |0⟩로 초기화하고, 둘째, Ry(θ) 회전을 적용한 후 CNOT을 사용해 제약 조건 경계를 고려한 방식으로 큐비트를 얽힌다.
• 이 방법은 실제 양자 하드웨어를 사용해 두 가지 벤치마크 문제—시설 위치 문제와 선형 배정 문제—에서 검증되었으며, 2-Local 및 QAOA 회로와 비교되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LCQBO 문제에서 변분 양자 회로를 설계하여 선형 등식 및 부등식 제약 조건을 내재적으로 만족시킬 수 있는가?
• RQ2 페널티 기반 방법과 비교해 앤사즈에 제약 조건을 직접 통합함으로써 파라미터 수와 양자 게이트 수를 줄일 수 있는가?
• RQ3 제약 조건 인식 변분 형식은 일반 목적의 앤사즈인 2-Local 또는 QAOA와 비교해 VQE 최적화에서 더 빠른 수렴을 이끌 수 있는가?
• RQ4 표준 앤사즈와 비교했을 때, 맞춤형 변분 형식을 사용할 경우 회로 깊이와 파라미터 수의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ5 복잡한 LCQBO 문제를 다루기 위해 여러 제약 조건 인코딩 블록을 체계적으로 조합할 수 있는 방법이 있는가?

주요 결과

• TVF 접근법은 페널티 기반 방법과 달리 구성에 의해 항상 타당한 해를 생성한다.
• 선형 배정 문제(LAP)에서 TVF는 단지 4개의 파라미터, 6개의 단일 큐비트 회전(SU(2)), 4개의 CNOT 게이트만을 필요로 하여 2-Local(8개의 파라미터, 14개의 SU(2), 3개의 CNOT)와 QAOA(4개의 파라미터, 24개의 SU(2), 8개의 CNOT)를 능가했다.
• COBYLA를 사용해 TVF는 45회 반복 내에 수렴했으며, QAOA와 2-Local는 확률 히스토GRAM과 목적 함수 변화 과정에서 타당하지 않은 해로 수렴했다.
• TVF는 LAP 인스턴스에서 최적 목적 함수 값 15를 달성하여 고전적 최적값과 일치했고, 다른 방법들은 타당성에 도달하지 못했다.
• TVF는 QAOA보다 더 적은 총 게이트 수와 파라미터 수를 사용했으며, 2-Local와 비교해 비용 효율성이 유사하거나 뛰어나 총 비용 46으로 2-Local의 44와 비교해 유리했다.
• 이 방법은 제약 조건 인식 앤사즈 설계가 힐버트 공간 탐색의 부담을 크게 줄여 고전적 최적화 효율성을 향상시킬 수 있음을 보여준다.