[논문 리뷰] Modeling shallow water waves

David Lannes|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2020. 01. 27.

Coastal and Marine Dynamics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수직으로 통합된 오일러 방정식에서 난류 및 비정수적 압력 항을 분석함으로써, 비선형 얕은 수면, 부세인스쿠, 세르르-그린-나흐디 방정식을 포함한 얕은 수면 파동 모델의 통합 점근적 유도를 제시한다. 이 모델들은 코asts의 해양학 및 파동 역학에 응용 가능한 난류 효과와 지형을 포함하도록 확장되었으며, 다층계 및 회전 흐름을 위한 새로운 설정을 제공한다. 특히 파동 붕괴 및 강한 유속 상호작용에 대한 적용이 가능하다.

ABSTRACT

We review here the derivation of many of the most important models that appear in the literature (mainly in coastal oceanography) for the description of waves in shallow water. We show that these models can be obtained using various asymptotic expansions of the "turbulent" and non-hydrostatic terms that appear in the equations that result from the vertical integration of the free surface Euler equations. Among these models are the well-known nonlinear shallow water (NSW), Boussinesq and Serre-Green-Naghdi (SGN) equations for which we review several pending open problems. More recent models such as the multi-layer NSW or SGN systems, as well as the Isobe-Kakinuma equations are also reviewed under a unified formalism that should simplify comparisons. We also comment on the scalar versions of the various shallow water systems which can be used to describe unidirectional waves in horizontal dimension $d=1$; among them are the KdV, BBM, Camassa-Holm and Whitham equations. Finally, we show how to take vorticity effects into account in shallow water modeling, with specific focus on the behavior of the turbulent terms. As examples of challenges that go beyond the present scope of mathematical justification, we review recent works using shallow water models with vorticity to describe wave breaking, and also derive models for the propagation of shallow water waves over strong currents.

연구 동기 및 목표

• 해안 해양학에서 사용되는 주요 얕은 수면 파동 모델의 체계적이고 통합적인 유도를 제공하는 것.
• 기존 모델들(예: NSW, 부세인스쿠, SGN)을 난류 및 비평탄한 지형을 포함하도록 확장하여 물리적 현실성을 향상시키는 것.
• 비선형 분산 시스템에서의 파동 붕괴, 경계 조건, 특이점 형성과 관련된 열린 수학 문제를 다루는 것.
• 수치적 복잡도를 감소시키고 수직 해상도를 향상시킨 새로운 다층계 및 이소베-카킨우마 형 모델을 도입하는 것.
• 특히 강한 유속에서의 파동 붕괴 및 전파를 모델링하는 데 있어 난류의 역할을 탐구하는 것.

제안 방법

• 자유 표면 오일러 방정식에서 수직 적분을 통해 수중 파동 방정식을 도출하고, 난류 및 비정수적 압력 항을 규명한다.
• 얕은 수면 영역(작은 비율 μ)에서 점근 전개를 적용하여 체계적으로 근사 모델을 도출한다.
• 약한 비선형성(ε ≪ 1)과 고차항 전개를 사용하여 부세인스쿠 및 세르르-그린-나흐디 모델을 분산 효과를 포함하도록 도출한다.
• 고차 미분을 도입하지 않고도 수직 속도 및 압력 구조를 더 잘 캐릭터라이즈하기 위해 다층계 설정을 도입한다.
• 저면 기울기 β와 깊이에 따라 변하는 보정 항을 사용하여 비평탄한 지형을 일반화한다.
• 난류 강도 매개변수 α를 도입하여 난류 효과를 포함하며, α = 1/2일 경우 강한 회전 흐름을 모델링하기 위해 특별한 처리를 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 난류 및 비정수적 항을 기반으로 한 통합 점근적 프레임워크에서 얕은 수면 모델의 전 범위를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 비선형 얕은 수면 및 부세인스쿠 형 모델에 난류를 포함할 경우의 수학적 및 물리적 함의는 무엇인가?
• RQ3 지형 변화는 특히 세르르-그린-나흐디 및 다층계 설정에서 얕은 수면 모델의 유도 및 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 KdV, 카마사-홀름과 같은 스칼라 모델은 단방향 파동 전파를 기술하는 데에 어떤 제한과 잠재력이 있는가?
• RQ5 난류를 포함한 회전 얕은 수면 모델은 파동 붕괴 현상을 수학적으로 타당한 프레임워크로 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 난류 및 비정수적 압력 항을 모두 무시할 경우 비선형 얕은 수면(NSW) 방정식이 주로 근사된 해로 나타난다.
• 부세인스쿠 시스템은 약한 비선형성 조건 하에서 유도되며, 특정 비정수적 압력 보정 항을 통해 분산 효과를 유지한다.
• 세르르-그린-나흐디(SGN) 모델은 약한 비선형성 가정 없이 도출되며, 고차 분산 및 비선형 효과를 포괄한다.
• NSW 및 SGN 모델의 다층계 확장은 고차 단층 모델 대비 수직 해상도를 향상시키고 수치적 강성도 감소시킨다.
• 이소베-카킨우마 모델은 고차 미분을 도입하지 않으면서도 정확도를 향상시키는 타당한 대안임을 입증하였다.
• 난류 효과는 강도 매개변수 α를 통해 포함되며, α = 1/2일 경우 강한 회전 흐름과 파동 붕괴 역학을 포착하는 특별한 척도를 제공한다.