[논문 리뷰] Modeling the propagation of tumor fronts with shortest path and diffusion models -- implications for the definition of the clinical target volume

Thomas Bortfeld, Gregory Buti|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 26.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 방사선 옹류학에서 임상적 표적부위(CTV)를 정의하기 위한 표준 기하학적 GTV-CTV 마진의 기계적 대체 모델로 반응-확산 모델을 제안한다. 확산과 최단경로(Eikonal) 방정식을 통해 종양 전단의 전파를 모델링함으로써, 두 모델이 유사한 웨이브프론트 형상을 생성하지만, 증식률 대비 확산 계수의 비율을 통해 확산 모델이 더 제어 가능한 매끄러움을 제공함으로써 뇌와 같은 복잡한 이방성 조직에서 CTV 정의를 위한 더 생물학적으로 타당하고 조정 가능한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Objective: The overarching objective is to make the definition of the clinical target volume (CTV) in radiation oncology less subjective and more scientifically based. The specific objective of this study is to investigate similarities and differences between two methods that model tumor spread beyond the visible gross tumor volume (GTV): 1. The shortest path model, which is the standard method of adding a geometric GTV-CTV margin, and 2. The reaction-diffusion model. Approach: These two models to capture the invisible tumor "fire front" are defined and compared in mathematical terms. The models are applied to example cases that represent tumor spread in non-uniform and anisotropic media with anatomical barriers. Main Results: The two seemingly disparate models bring forth traveling waves that can be associated with the front of tumor growth outward from the GTV. The shape of the fronts is similar for both models. Differences are seen in cases where the diffusive flow is reduced due to anatomical barriers, and in complex spatially non-uniform cases. The diffusion model generally leads to smoother fronts. The smoothness can be controlled with a parameter defined by the ratio of the diffusion coefficient and the proliferation rate. Significance: Defining the CTV has been described as the weakest link of the radiotherapy chain. There are many similarities in the mathematical description and the behavior of the common geometric GTV-CTV expansion method, and the definition of the CTV tumor front via the reaction-diffusion model. Its mechanistic basis and the controllable smoothness make the diffusion model an attractive alternative to the standard GTV-CTV margin model.

연구 동기 및 목표

• 임상적 표적부위(CTV) 정의의 주관성을 줄이기 위해 히우리스틱 기하학적 마진을 기계적 모델로 대체하기 위해.
• 표준 기하학적 GTV-CTV 확장(최단경로 모델)과 반응-확산 모델 간의 수학적 및 행동적 유사성 비교하기 위해.
• 해부학적 장애물과 조직의 이방성 특성이 두 모델에 미치는 영향, 특히 뇌와 같은 비균일한 매질에서의 영향 평가하기 위해.
• 반응-확산 모델이 현재의 CTV 정의 관행에 비해 더 과학적으로 타당하고 제어 가능한 대안이 될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 조직의 이방성과 저항을 나타내는 메트릭 텐서를 사용하여 이격된 최단경로 모델(Eikonal 방정식)을 통해 종양 전단의 전파를 모델링한다.
• GTV로부터의 거리 계산을 효율적이고 정확하게 수행하기 위해 빠른 마치기 방법(Fast Marching Method, FMM)을 사용해 Eikonal 방정식을 해결한다.
• 공간적으로 변화하는 확산 텐서 D(r)와 증식률 ρ를 사용하여 종양 세포 밀도의 진화를 시뮬레이션하기 위해 반응-확산 방정식을 적용한다.
• 종양 전단을 종양 세포 밀도 지ap의 등치표면(레벨 세트)으로 정의하며, 임계값에서의 표면을 기준으로 한다.
• 이방성 매질에서 Eikonal 모델과 반응-확산 모델 간의 수학적 관계를 공식적으로 설정하기 위해 리emann 메트릭 변환을 사용한다.
• 해부학적 장애물과 방향성 조직 구조가 있는 기하학적 시험 케이스에서 모델의 행동을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하고 이방성 매질에서 최단경로(Eikonal) 모델과 반응-확산 모델이 생성하는 종양 전단 형상은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 해부학적 장애물은 두 모델의 전파 패턴에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ3 반응-확산 모델은 기하학적 GTV-CTV 마진보다 더 매끄럽고 생물학적으로 더 타당한 전단을 생성할 수 있는가?
• RQ4 반응-확산 모델에서 확산 계수와 증식률의 비율은 전단의 매끄러움에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 반응-확산 모델은 현재 표준 기하학적 CTV 확장에 비해 기계적 측면에서 열등한 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 균일한 매질에서 최단경로(Eikonal) 모델과 반응-확산 모델은 모두 GTV에서 외부로 전파되는 이동 웨이브프론트를 생성하며, 전반적인 형상은 유사하다.
• 해부학적 장애물 존재 시 반응-확산 모델은 Eikonal 모델의 날카운 전이보다 더 매끄럽고 점진적인 전단을 생성한다.
• 반응-확산 전단의 매끄러움은 확산 계수와 증식률의 비율에 의해 직접 제어되며, 이는 전단 형태를 조절 가능한 가능성을 제공한다.
• 백질 섬유 등 복잡한 이방성 환경에서는 반응-확산 모델이 방향성 전파를 더 잘 반영하며, 알려진 생물학적 경로와 일치한다.
• 수학적 형식은 리emann 메트릭 변환을 통해 Eikonal 방정식과 반응-확산 모델 간의 직접적 연결을 수립하며, 특정 조건 하에서 그 등가성을 검증한다.
• 반응-확산 모델은 신경 옹류학을 포함한 특정 분야에서 더 생리학적으로 타당하고 제어 가능한 CTV 정의 프레임워크를 제공한다.