[논문 리뷰] Modelos SIR modificados para la evoluci\'on del COVID19

Nana Cabo Bizet, Alejandro Cabo Montes de|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 23.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쿠바 및 기타 국가에서의 코로나19 역학을 예측하기 위해 시간에 따라 변하는 감염률을 갖는 수정된 SIR 모델을 제안한다. 감염률 β*(t)를 격리 조치 시작 후 지수적으로 감소시키고, 질병의 평균 지속 기간(1/γ) 내에 거의 0에 도달하도록 모델링함으로써, 독일의 데이터를 정확하게 맞추고, 2020년 5월 중순까지 엄격한 격리를 시행할 경우 쿠바에서 활성 감염자 수가 1,000~2,000명으로 정점에 도달할 것으로 예측한다. 핵심 통찰은 효과적인 통제를 위해서는 β* − γ < 0 (R₀ < 1) 여야 한다는 것이다.

ABSTRACT

We study the SIR epidemiological model, with a variable contagion rate, applied to the evolution of COVID19 in Cuba. It is highlighted that an increase in the predictive character depends on understanding the dynamics for the temporal evolution of the rate of contagion $\\beta^*$. A semi-empirical model for this dynamics is formulated, where reaching $\\beta^*\\approx0$ due to isolation is achieved after the mean duration of the disease $\ au=1/\\gamma$, in which the number of infected in the confined families has decreased. It is considered that $\\beta^*(t)$ should have an abrupt decrease on the day of initiation of confinement and decrease until canceling at the end of the interval $\ au$. The analysis describes appropriately the infection curve for Germany. The model is applied to predict an infection curve for Cuba, which estimates a maximum number of infected as less than 2000 in the middle of May, depending on the rigor of the isolation. This is suggested by the ratio between the daily detected cases and the total. We consider the ratio between the observed and real infected cases (k) less than unity. The low value of k decreases the maximum obtained when $\\beta^*-\\gamma&gt;0$. The observed evolution is independent of k in the linear region. The value of $\\beta^*$ is also studied by time intervals, adjusting to the data of Cuba, Germany and South Korea. We compare the extrapolation of the evolution of Cuba with the contagion rate until 16.04.20 with that obtained by a strict quarantine at the end of April. This model with variable $\\beta^*$ correctly describes the observed infected evolution curves. We emphasize that the desired maximum of the SIR infected curve is not the maximum standard with constant $\\beta^*$, but one achieved due to quarantine when $\ ilde R_0=\\beta^*/\\gamma&lt;1$. For the countries controlling the epidemic the maxima are in the region in which SIR equations are linear.

연구 동기 및 목표

• 실제 개입 조치를 반영하기 위해 시간에 따라 변하는 감염률 β*(t)를 포함함으로써 SIR 모델의 예측 성능을 향상시키는 것.
• 비선형성에 기인한 SIR 시스템에서 k(관측된 감염자 수 대비 총 감염자 수)의 비율이 정점 감염자 예측에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 관측된 감염 곡선이 k < 1임에도 불구하고 선형적으로 스케일 가능해지는 조건을 규명하여 신뢰할 수 있는 예측를 가능하게 하는 것.
• 쿠바, 독일, 남코리아의 실시간 데이터를 분석하여 β*(t)와 R₀의 변화를 통해 격리 조치의 효과를 평가하는 것.
• 효과적인 유행병 통제를 위해서는 정점 감소 외에도 β* − γ < 0 (즉, R₀ < 1) 여야 하며, 이를 실증 데이터를 통해 정량화하는 것.

제안 방법

• 격리 조치 시작 시 감소하는 감염률 β*(t)를 갖는 반경험적 모델을 수립하고, 질병의 평균 지속 기간 τ = 1/γ(15~20일) 이내에 0으로 감쇠하도록 설정한다.
• 시간에 따라 변하는 β*(t)를 갖는 수정된 SIR 모델을 적용하여 독일, 쿠바, 남코리아의 일일 활성 감염자 데이터에 적합시킨다.
• 시간 간격 동안 조각별로 일정한 β* 근사치를 사용하여 데이터에 적합하고, 다양한 격리 시행 시점에 따른 미래 추세를 외삽한다.
• 부족 보고(underreporting)를 반영하기 위해 스케일링 인자 k = 관측된 감염자 수 / 총 감염자 수를 도입하고, 그 영향을 분석한다.
• 효율적 복귀 수치 R₀ = β*/γ를 정의하고, 유행병 통제를 위해 R₀ < 1이 되도록 하며, 일일 데이터를 활용해 β*와 γ를 모니터링한다.
• 예를 들어 4월 16일 대비 4月下旬 말에 격리 조치를 시행하는 경우를 비교하여 정점의 시기와 크기 변화에 미치는 정책 영향을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격리 조치 이후 감소하는 시간에 따라 변하는 감염률 β*(t)가 실세계 코로나19 데이터에 대한 SIR 모델 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 k < 1인 경우, 비선형 SIR 모델에서 활성 감염자의 정점에 미치는 부족 보고의 영향은 무엇인가?
• RQ3 SIR 시스템이 어떤 조건에서 약간의 선형성 유지가 가능하여, k에 의존하지 않는 관측된 감염자 및 회복자 수의 예측가능성이 보장되는가?
• RQ4 격리 조치 시행 일자와 β*의 역학을 바탕으로 쿠바에서 감염 정점의 시기와 크기를 모델이 예측할 수 있는가?
• RQ5 R₀ < 1(즉, β* − γ < 0)을 달성하는 것이 표준 SIR 최대값이 아닌 실제 정점 크기를 결정하는 데 얼마나 중요한가?

주요 결과

• τ = 1/γ 내에 β*(t)가 0으로 감쇠하는 반경험적 모델이 독일의 감염 곡선을 성공적으로 재현한다.
• 쿠바의 경우, 2020년 5월 중순까지 엄격한 격리를 시행할 경우 모델이 활성 감염자 정점이 1,000~2,000명으로 예측한다.
• 지연된 격리(예: 4월 말)의 경우 모델이 정점 시기를 6월 초로 밀리고 최대치를 수천 명으로 증가시킬 것으로 예측한다.
• 효과적인 통제가 이루어지지 않을 경우 현재 β* − γ > 0 (R₀ ≈ 1.92) 상태에서 모델은 2020년 9월까지 심각한 감염자 수가 20,000명에 이를 것으로 예측한다.
• R₀ < 1일 경우 관측된 감염 곡선은 k에 대해 선형적으로 스케일 가능하며, 이는 이 영역에서 관측된 감염자 정점 예측이 k에 의존하지 않음을 의미한다.
• 모델은 진정한 유행병 정점이 표준 SIR 최대값(N)이 아니라, 효과적인 격리로 인해 R₀ < 1이 되었을 때 도달하는 더 낮은 값임을 확인한다.