[논문 리뷰] Models of expansions of N with no end extensions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 생물력 강제를 사용하여 ℕ의 부분집합들의 Borel이자 산술적으로 닫힌 가족을 구성하며, 이 가족의 원소들을 이용해 ℕ을 비가чёт수로 확장하면, 원소적 끝 확장이 없는 페아노 산술의 모델이 된다. 주요 기여는 Ali Enayat의 질문에 대해 부정적인 답변을 제시하는 것으로, MacDowell-Specker 정리의 가산성 조건이 원소적 끝 확장을 위해 필수적인지 여부를 다루며, 이러한 모델이 비가산 수의 정의 가능한 술어를 포함할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We deal with models of Peano arithmetic (specifically with a question of Ali Enayat). The methods are from creature forcing. We find an expansion of N such that its theory has models with no (elementary) end extensions. In fact there is a Borel uncountable set of subsets of N such that expanding N by any uncountably many of them suffice. Also we find arithmetically closed A with no definably closed ultrafilter on it.

연구 동기 및 목표

• 원소적 끝 확장을 위해 MacDowell-Specker 정리의 가산성 조건이 필수적인지 여부를 묻는 Ali Enayat의 질문에 답하기.
• ℕ의 부분집합들에 대한 Borel이자 산술적으로 닫힌 가족 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)을 구성하여, 이 가족의 비가산 수의 원소들을 ℕ에 추가한 확장이 원소적 끝 확장을 갖지 않는 모델을 만든다.
• 이러한 비가산 확장의 산술적 폐쇄 위에 정의 가능하게 닫힌 최소 또는 2-Ramsey 초월수체가 존재하지 않음을 증명한다.
• 이러한 모델의 표준 체계가 최소 초월수체를 지니지 않음을 확립하며, 이는 PA 모델의 더 넓은 모델 이론적 성질과 연결된다.

제안 방법

• 가산 초순서구조 N* ≺ (H(χ), ∈) 위에서 생물력 강제를 사용하여 특정 정의 가능한 성질을 지닌 PA의 모델을 구성한다.
• 각 나무가 유한한 수준을 가지며 <t에 의해 잘 순서가 정렬된 나무들의 가족 T*ω의 산술적 폐쇄로 정의된 Borel 집합 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)를 정의한다.
• 나무 <t의 구조를 이용해 정의 가능한 함수 gt와 수열 bt_i를 정의하며, 이는 산술적 폐쇄 위의 초월수체의 행동을 분석하는 데 사용된다.
• 무한한 Δ-시스템 정리를 적용하여 서로 다른 t1, t2를 찾으며, 이때 집합 Ct1과 Ct2의 교차가 유한함을 보여, 최소 초월수체의 존재를 모순시킨다.
• 강제와 정의 가능성 제약 조건을 사용하여, 임의의 비가산 부분집합 A′ ⊆ 𝔹에 대해 ar-cl(A′) 위에 정의 가능하게 닫힌 최소 초월수체가 존재하지 않음을 증명한다.
• Shelah의 [Sh:F834]에서의 ℵ1-유도 강제 개념 결과를 활용하여, 필요한 성질을 지닌 적절한 일반 확장이 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가산 수의 정의 가능한 부분집합들로 ℕ을 확장한 후, 그 결과로 얻어진 PA 모델이 원소적 끝 확장을 갖지 않는가?
• RQ2 산술적으로 닫힌 ℕ의 부분집합들의 가족을 구성할 수 있으며, 그 산술적 폐쇄 위에 최소 또는 2-Ramsey 초월수체가 존재하지 않는가?
• RQ3 ZFC는 산술적으로 닫힌 가족이 최소 초월수체를 지니지 않음을 보장하는가, 즉 가족이 비가산일 경우에도 마찬가지인가?
• RQ4 비표준 PA 모델의 표준 체계가 최소 초월수체를 지닐 수 없는가? 어떤 강제 기법이 이를 보장하는가?
• RQ5 생물력 강제가 언어가 비가산일 경우, 원소적 끝 확장을 갖지 않는 PA 모델을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ℕ의 부분집합들의 Borel이자 산술적으로 닫힌 집합 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ)이 존재하며, 이에 대해 비가산 부분집합 A′ ⊆ 𝔹이 존재할 경우, Th(ℕ, A′) 모델은 원소적 끝 확장을 갖지 않는다.
• 임의의 비가산 A′ ⊆ 𝔹에 대해, ar-cl(A′) 위에는 정의 가능하게 닫힌 최소 초월수체가 존재하지 않는다.
• 가족 𝔹는 각 나무가 유한한 수준을 가지며 <t에 의해 잘 순서가 정렬된 나무들의 가족 T*ω의 산술적 폐쇄로 구성된다.
• ar-cl(A′) 위에 최소 초월수체가 존재하지 않음을, 정의 가능한 집합 Ct1과 Ct2의 교차가 유한한데도 불구하고 둘 다 동일한 초월수체에 속해 있음을 보여 모순을 이끌어내어 증명한다.
• 비가산 A′에 대해 모델 Th(ℕ, A′)는 표준 체계 위에 2.5-Ramsey 초월수체가 존재하지 않으며, 이는 최소 코final 확장이 존재하지 않음을 의미한다.
• 이 구성은 임의의 이러한 모델 N이 StSy(N) 위에 최소 초월수체를 지니지 않음을 보장하며, Enayat의 코final 최소 확장에 대한 추측과 관련된 문제를 해결한다.