[논문 리뷰] Models of some cardinal invariants with large continuum

Diego A. Mejía|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 연속체가 ℵ₂보다 큰 모델을 구성하여, add(𝒩), cov(𝒩), p, non(𝒫), cov(𝒫), d, non(𝒩), 및 𝔠와 같은 연속체의 다양한 기수 불변량이 임의의 정규값을 가질 수 있도록 한다. 유한 지지 반복과 행렬 반복 기법을 사용하여, 이전 방법을 확장하여 이러한 불변량의 임의의 일致 가능한 값, 특히 Cichon 다이어그램 외의 불변량인 𝔰 및 𝔯까지도 얻을 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We extend the applications of the techniques used in Arch Math Logic 52:261-278, 2013, to present various examples of consistency results where some cardinal invariants of the continuum take arbitrary regular values with the size of the continuum being bigger than $\aleph_2$.

연구 동기 및 목표

• 연속체가 ℵ₂보다 큰 모델을 구성하고, 특정 기수 불변량이 임의의 정규값을 가질 수 있도록 포스팅 기법을 확장한다.
• Cichon 다이어그램에 포함되지 않는 불변량, 예를 들어 𝔰 및 𝔯의 임의의 정규값이 일치 가능한지 다룬다.
• 일반화된 유지 결과를 사용하여 포스팅 확장에서 기수 불변량의 하한 및 상한이 어떻게 유지되는지 조사한다.
• 행렬 반복 구성에서 𝔲 및 𝔯와 같은 불변량을 제어할 수 있는 조건과 한계를 탐색한다.
• 이러한 모델에서 𝔲 및 𝔯에 특정 값을 달성할 수 있는지에 관한 열린 질문을 규명한다.

제안 방법

• Blass와 Shelah가 도입한 [8]의 유한 지지 반복(fsi) 기법과 행렬 반복 기법을 사용한다.
• 코헨(𝓒), 랜덤(𝓑), 헤클러(𝓓), 궁극적으로 다른 실수(𝓔), 그리고 필터 기저를 사용한 매타시 포스팅(𝓜𝓕)과 같은 포스팅 개념을 적용한다.
• 섹션 2의 유지 결과를 적용하여 포스팅 확장 동안 불변량의 범위를 유지한다.
• 각 단계에서 특정 포스팅 조건을 갖는 차원 𝜅 × 𝜅𝜈의 행렬 반복을 구성하며, 하위순서와 필터 기저의 이름으로 구성된 수열에 따라 매개변수화한다.
• add(𝒩) = 𝜇₁, cov(𝒩) = 𝜇₂, p = non(𝒫) = 𝜈, d = 𝜅, non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆와 같은 불변량을 제어하기 위해 반복 𝔼_{𝜅,𝜆𝜅𝜈}를 사용한다.
• 레버 포스팅과 초수집합을 사용한 레마 2.25를 적용하여 새로운 포스팅 맥락으로 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 반복 기법을 확장하여 대규모 연속체를 가진 모델에서 𝔰 = 𝜅 또는 𝔯 = 𝜅를 달성할 수 있는가?
• RQ2 정리 4.5의 일致 결과에서 𝔡 = 𝜅 대신 𝔲 = 𝜈를 달성하는 것이 가능한가?
• RQ3 레마 2.23이 ⊥(피치포크 관계)에 대해 성립하는가? 이는 새로운 구성에서 𝔰 및 𝔯를 제어할 수 있도록 한다.
• RQ4 레버 포스팅을 사용하여 대규모 연속체를 가진 모델에서 𝔲 = 𝜅 또는 𝔲 = 𝜆를 달성할 수 있는가?
• RQ5 포스팅 개념 𝓑 및 𝓓가 열에 따라 cofinally 출현할 경우, 행렬 반복 기법의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 모델 𝑉_{𝜅,𝜆𝜅𝜈}에서 add(𝒩) = 𝜇₁, cov(𝒩) = 𝜇₂, p = non(𝒫) = 𝜈, 그리고 cov(𝒫) ≥ 𝜈이다.
• 지배 수는 𝔡 = 𝜅이며, 연속체는 ℵ_𝜆이며, non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆이다.
• 초수집합 수는 𝔲 ≤ 𝜈이며, 매타시 실수의 수열이 초수집합을 생성함으로써 증명된다.
• 모델는 𝜆에서 일반화된 연속체 가설 GCH_𝜆를 만족한다.
• 구성은 불변량의 값이 유지되고 임의의 정규값으로 할당될 수 있음을 보장한다.
• 행렬 반복 방법은 ( +_{𝓑,∝} )의 유지가 보장되지 않아 𝔯 = 𝜅를 달성하지 못하며, 이는 이러한 모델에서 𝔯 제어의 한계를 초래한다.