[논문 리뷰] Moderate deviations principle for empirical covariance from a unit root

Yu Miao, Yanling Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 17.

Monetary Policy and Economic Impact참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단위근을 가진 선형 자기회귀 모형에서 자기상관 계수 θₙ → 1일 때, 경험 공분산에 대한 중간편차 원리(MDP)를 수립한다. 마팅게일 근사와 노이즈에 대한 모멘트 조건 하에서의 지수모멘트 경계를 이용하여, 경험 공분산과 최소제곱 및 요울러 추정량에 대한 MDP를 도출하며, 이는 이전의 결과를 가우시안 또는 로그-소볼레프 조건을 초과하여 일반화한다.

ABSTRACT

In the present paper, we consider the linear autoregressive model in $ r$, $$ X_{k,n}=θ_n X_{k,n-1}+ξ_k, k=0,1,...,n, n\ge 1$$ where $θ_n\in [0,1)$ is unknown, $(ξ_k)_{k\in\zz}$ is a sequence of centered i.i.d. r.v. valued in $ r$ representing the noise. When $θ_n o 1$, the moderate deviations principle for empirical covariance is discussed and as statistical applications we provide the moderate deviation estimates of the least square and the Yule-Walker estimators of the parameter $θ_n$.

연구 동기 및 목표

• 자기상관 계수 θₙ가 1으로 수렴할 때 선형 자기회귀 모형에서 경험 공분산에 대한 중간편차 원리(MDP)를 수립하는 것.
• 기존의 대규모 및 중간편차 결과를 노이즈 분포에 대한 가우시안 또는 로그-소볼레프 조건을 초월하여 확장하는 것.
• 단위근 점근적 체계 하에서 최소제곱 및 요울러 추정량 ̂θₙ에 대한 중간편차 추정을 제공하는 것.
• 편차가 bₙ / √n 비율로 스케일링되는 중간편차 영역에서 경험 공분산과 매개수 추정량의 점근적 행동을 분석하는 것. 여기서 bₙ → ∞ 이고 bₙ / n → 0이다.

제안 방법

• 시간적 의존성 구조를 다루기 위해 마팅게일 근사 기법을 사용하여 경험 공분산 Cₗ,n*에 대한 중간편차 원리를 도출한다.
• 경험 공분산 과정의 절단된 증분에 대한 지수모멘트 경계를 통해 가르트너-엘리스 정리를 적용한다.
• 노이즈 ξₖ에 대해 E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞ (일부 γ > 0) 조건을 도입하여 尾행동을 제어하고 지수모멘트 수렴을 보장한다.
• 절단 및 쌍방향화 논증을 통해 절단된 과정과 원래 과정 간의 차이를 제어하며, 중간편차 스케일링 하에서 그 기여가 사라짐을 보인다.
• 정규화된 누산생성함수의 수렴이 이차형태로 이루어짐을 확인하여 경험 공분산에 대한 MDP를 확인한다.
• 경험 공분산에 대한 MDP를 응용하여 연속성 매핑 및 델타-메서드 유사 논증을 통해 최소제곱 및 요울러 추정량 ̂θₙ에 대한 중간편차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 θₙ → 1일 때 단위근 자기회귀 모형에서 경험 공분산의 중간편차 행동은 어떠한가?
• RQ2 진짜 매개수 θₙ가 1에 수렴할 때 최소제곱 및 요울러 추정량 ̂θₙ의 중간편차 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 노이즈에 대해 가우시안성 또는 로그-소볼레프 조건을 가정하지 않고도 경험 공분산에 대한 중간편차 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 경험 공분산과 매개수 추정량에 대한 중간편차 원리의 타당성을 보장하기 위해 노이즈 ξₖ에 대해 필요한 모멘트 조건는 무엇인가?
• RQ5 중앙극한정리 체계와 비교해 볼 때 중간편차 영역에서 경험 공분산과 추정량의 점근적 행동은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 경험 공분산 Cₗ,n*는 속도 bₙ², 비용함수 I(x) = x² / (2σ²)를 가진 중간편차 원리를 만족한다. 여기서 σ²는 공분산 추정량의 점근적 분산이다.
• 최소제곱 추정량 ̂θₙ는 동일한 스케일링 하에서 중간편차 원리를 만족하며, 경험 공분산의 MDP로부터 유도된 비용함수를 갖는다.
• 요울러 추정량 ̃θₙ 또한 동일한 속도 bₙ²를 가진 중간편차 원리를 만족하며, 동일한 모멘트 조건 하에서 성립한다.
• 증명은 절단과 모멘트 경계에 기반한다: E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞ (일부 γ > 0) 조건 하에서 절단된 증분의 지수모멘트가 필요한 속도로 0으로 수렴한다.
• 절단 꼬리의 기여는 중간편차 스케일링 하에서 사라지며, limₙ→∞ (bₙ (mp)¹⁺ᵞ) / √n = 0 조건 하에서 꼬리 확률 항의 수렴이 0으로 나타남을 보였다.
• 이 결과는 이전 연구를 일반화하며, 로그-소볼레프 또는 가우시안 적분 가능성 조건이 필요 없음을 제거하여 MDP를 더 넓은 노이즈 분포 계열로 확장한다.