[논문 리뷰] Modern theory of hydraulic fracture modeling with using explicit and implicit schemes

A. M. Linkov|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 08.

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis참고 문헌 51인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수압 균열(HF) 모델링을 발전시켜 속도 방정식의 핵심적 역할을 강조하며, 균열 전면 근처 영역에서 CFL 조건이 더 덜 엄격한 덕분에 명시적 시간 적분이 암시적 방법보다 우월할 수 있음을 입증한다. 보편적 점근적 우산 개념을 도입하고, 전면 영역에서 파동 유사한 전파가 가능해지며, 이는 명시적 방법이 특히 3차원에서 변화하는 균열 윤곽을 갖는 경우에 경쟁력 있거나 우월한 성능을 발휘할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

The paper presents novel results, obtained on the basis of the modified theory of hydraulic fractures (HF). The theory underlines significance of the speed equation. When applied to numerical simulation of HF, the theory reveals three distinct issues: (i) modeling the central part of a HF; (ii) modeling the near-front zone; and (iii) tracing changes in the shape of a fracture contour. Modeling the central part leads to a stiff system of ODE in time, what strongly complicates its integration. For explicit schemes, it requires small time steps to meet the CFL condition. For implicit schemes, it requires proper preconditioners. The gains and flaws of the two strategies are discussed. It is noted that a rough spatial mesh may be used in the central part. Modeling the near-front zone reveals the vital role of the speed equation for HF modeling by any method. Its asymptotic analysis has resulted in the fundamental concept of the universal asymptotic umbrella. For the near-front zone, it is also established that a notable part of the zone adjacent to the front propagates virtually as a simple wave. This implies that the CFL condition of stability for this zone is much less restrictive than for the central part of the fracture. Of essence is also that the wave-like propagation of the near front zone makes preferable upwind schemes of time stepping. On whole, the analysis implies that explicit time stepping may be complementing, competitive and even superior over implicit integration. Tracing changes in the front shape appears merely in 3D problems when the contour changes its form. The problem, being essentially geometrical, it may be solved separately by various methods, including fast marching, level set and the simplest string/marker methods. In 1D cases, it does not arise at all. Quantitative estimations and numerical examples illustrate the theoretical conclusions.

연구 동기 및 목표

• 수압 균열을 시뮬레이션하는 데 있어 중심 영역의 강성과 전면 전파의 복잡성과 같은 계산적 과제를 해결하기 위해.
• HF 모델링에서 명시적 및 암시적 시간 적분 방법의 성능와 안정성 평가를 위해.
• 특히 형상 변화가 발생할 경우 3차원에서 균열 윤곽 변화를 추적하기 위한 강력한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 점근적 분석에 기반하여 균열 전면 근처 영역에서 상향 흐름 방법을 사용할 수 있는 이론적 및 수치적 기반을 확립하기 위해.
• 기존의 통념과는 반대로, 특정 균열 영역에서는 명시적 방법이 암시적 방법보다 경쟁력 있거나 더 우월할 수 있음을 입증하기 위해.

제안 방법

• 수압 균열 이론의 수정된 버전을 사용하여, 동역학 모델링의 핵심으로 속도 방정식을 강조한다.
• 근접 전면 영역에 대한 점근적 분석을 적용하여 보편적 점근적 우산 개념을 도출한다.
• 근접 전면 영역이 단순한 파동처럼 행동함을 규명하여, 더 덜 엄격한 CFL 조건이 가능하다는 것을 확인한다.
• 파동 유사한 전파 특성에 기반해 근접 전면 영역에 대해 상향 흐름 시간 스텝 방법을 제안한다.
• 3차원 문제에서 윤곽 추적을 위해 빠른 마킹, 레벨셋 또는 마커/스트링 방법과 같은 별도의 기하학적 방법을 활용한다.
• 수치적 예제와 정량적 추정을 통해 다양한 메esh 해상도와 방법에서 이론적 결론을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수압 균열 모델링에서 명시적 및 암시적 시간 적분 방법은 안정성과 효율성 측면에서 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 속도 방정식은 수압 균열 전파의 근접 전면 영역에서 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 안정성 제약가 존재하는 상황에서 명시적 방법이 수압 균열 모델링에서 경쟁력 있거나 더 낫게 작용할 수 있는가?
• RQ4 전면 전파의 파동 유사한 성격은 수치적 방법 선택과 시간 스텝 제약에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 3차원 수압 균열 시뮬레이션에서 균열 윤곽 변화 추적에 가장 효과적인 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 근접 전면 영역은 파동 유사한 전파를 보이며, 중심 영역에 비해 훨씬 덜 엄격한 CFL 조건을 가진다.
• 속도 방정식은 근접 전면 영역의 동역학을 지배하며, 그 점근적 분석을 통해 보편적 점근적 우산 개념을 도출할 수 있다. 이는 다양한 모델 간 행동을 통합하는 데 기여한다.
• 근접 전면 영역에서 안정성 제약가 완화되므로, 명시적 시간 적분이 암시적 방법보다 경쟁력 있거나 더 낫게 작용할 수 있다.
• 파동 유사한 전파 특성에 기반해 상향 흐름 방법은 근접 전면 영역에 특히 적합하며, 수치적 안정성과 효율성을 향상시킨다.
• 3차원 시뮬레이션에서는 균열 윤곽이 시간에 따라 변화하므로, 빠른 마킹 또는 레벨셋과 같은 별도의 기하학적 추적 방법이 필요하지만, 1차원 문제에서는 이러한 추적 방법이 필요하지 않다.
• 중심 영역에서는 근사적인 격자 메쉬로도 충분하며, 정확도를 훼손하지 않고 계산 비용을 줄일 수 있다.