[논문 리뷰] Modified Euler approximation scheme for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions

Yaozhong Hu, Yanghui Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $H > \frac{1}{2}$인 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식을 위한 수정된 오일러 스킴을 제안하며, 수렴 속도 $2H - \frac{1}{2}$를 달성한다. 이는 고전적 오일러 스킴의 수렴 속도인 $2H - 1$보다 향상된 결과이다. 이 방법은 분수 및 Malliavin 미적분을 활용하여 정확도를 향상시키며, 특히 $H \to \frac{1}{2}$에 수렴할 때 표준 Brown 운동의 수렴 속도인 $\frac{1}{2}$에 가까워진다.

ABSTRACT

For a stochastic differential equation driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H> \frac12$ it is known that the classical Euler scheme has the rate of convergence $2H-1$. In this paper we introduce a new numerical scheme which is closer to the classical Euler scheme for diffusion processes, in the sense that it has the rate of convergence $2H-\frac12$. In particular, the rate of convergence becomes $\frac 12$ when $H$ is formally set to $\frac 12$ (the rate of Euler scheme for classical Brownian motion). The rate of weak convergence is also deduced for this scheme. The main tools are fractional calculus and Malliavin calculus. We also apply our approach to the classical Euler scheme.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 SDEs에 대한 고전적 오일러 스킴의 비최적 수렴 속도 문제를 해결하기 위해.
• 구조와 수렴 행동 면에서 확산 과정의 고전적 오일러 스킴에 더 가까운 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 특히 $2H - \frac{1}{2}$의 더 높은 수렴 속도를 달성하기 위해. 이는 $H = \frac{1}{2}$일 때 $\frac{1}{2}$로 감소하여 고전적 Brown 운동의 경우와 일치한다.
• 고급 확률적 분석 도구를 사용하여 제안된 스킴의 약한 수렴 속도를 확립하기 위해.

제안 방법

• 스킴은 고전적 오일러 이산화에 분수 미적분을 활용한 보정 항을 도입하여 분수 Brown 운동의 장기적 의존성을 더 잘 반영하도록 수정한다.
• 분수 미적분은 구동하는 분수 Brown 운동의 비 마르코프성 및 자기유사성 성질을 다루기 위해 사용된다.
• Malliavin 미적분은 해의 정규성 분석과 특히 약한 수렴을 위한 수렴 속도 유도에 적용된다.
• 동일한 분석 프레임워크를 적용하여 고전적 오일러 스킴의 분석으로 확장함으로써 수렴 행동를 비교할 수 있다.
• 스킴은 오일러 방법의 직관적인 구조를 유지하면서도 맞춤형 보정 항을 통해 수렴 속도를 향상시키도록 구성된다.
• 수렴 속도의 이론적 추론은 분수 Brown 운동의 공분산 구조 기반 추정과 Malliavin 적분 by parts 기법을 사용하여 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 SDEs에 대해 $H > \frac{1}{2}$일 때 고전적 오일러 스킴보다 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 있는 수정된 오일러 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ2 고전적 오일러 방법의 구조적 단순성과 유지하면서도 도달 가능한 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 제안된 스킴의 수렴 속도는 $H \to \frac{1}{2}$일 때 어떻게 행동하는가? 그리고 고전적 확산 과정의 표준 $\frac{1}{2}$ 수렴 속도를 복원하는가?
• RQ4 분수 및 Malliavin 미적분은 이러한 수치적 스킴의 수렴 속도 유도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 동일한 분석 프레임워크를 고전적 오일러 스킴 분석에 적용하여 비교 분석이 가능한가?

주요 결과

• 제안된 수정된 오일러 스킴은 $2H - \frac{1}{2}$의 수렴 속도를 달성한다. 이는 $H > \frac{1}{2}$일 때 고전적 오일러 스킴의 수렴 속도인 $2H - 1$보다 엄밀히 빠르다.
• H가 $\frac{1}{2}$에 수렴할 때, 신규 스킴의 수렴 속도는 $\frac{1}{2}$로 수렴하며, 이는 표준 Brown 운동의 고전적 오일러 스킴의 수렴 속도와 일치한다.
• 제안된 스킴의 약한 수렴 속도도 확립되어 있어 분포 근사에 대한 안정성을 확인한다.
• 분수 미적분은 분수 Brown 운동에 내재된 장기적 의존성을 정확하게 모델링하는 데 기여한다.
• Malliavin 미적분은 해의 매끄러움을 분석하고 정밀한 수렴 한계를 도출하기 위한 필수 도구를 제공한다.
• 분석 프레임워크는 고전적 오일러 스킴에 성공적으로 적용되어 동일한 이론적 시각을 통해 그 수렴 행동를 드러낸다.