[논문 리뷰] Modified Stancu-type Dunkl generalization of Szasz- Kantorovich-operators

M. ‎Mursaleen, Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 21.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 함수를 보존하고 $[\frac{1}{2}, \infty)$에서 보다 뛰어난 근사 정확도를 달성하는 수정된 Stancu 유형의 Dunkl 일반화된 Szász-Kantorovich 연산자를 소개한다. 이는 Korovkin 유형 정리, 연속성 모듈러스 및 가중치 근사화를 통해 더 빠른 수렴 속도를 달성한다. 주요 기여는 기존의 고전적 및 기존의 Dunkl 변형과 비교해 개선된 오차 추정을 제공하는 새로운 연산자이다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a modification of the Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators as well as Stancu operators [9] (or a Dunkl generalization of modified Szasz-Mirakjan-Kantrovich operators [5]) which preserve the linear functions. These types of operators modification enables better error estimation than the classical Dunkl Szasz-MirakjanKantrovich as well as Stancu operators. We obtain some approximation results via well known Korovkin's type theorem, weighted Korovkin's type theorem convergence properties by using the modulus of continuity and the rate of convergence of the operators for functions belonging to the Lipschitz class

연구 동기 및 목표

• Dunkl 미적분을 사용하여 Szász-Kantorovich 및 Stancu 연산자를 일반화하는 새로운 양의 선형 연산자 클래스를 개발한다.
• 기존의 고전적 및 Dunkl 유형 연산자들과 비교해 $[\frac{1}{2}, \infty)$에서의 함수에 대해 오차 추정과 수렴 속도를 향상시킨다.
• 연속 함수 $C_{\zeta}[0,\infty)$에 대해 Korovkin 유형 정리, 연속성 모듈러스 및 가중치 근사화를 통해 근사 결과를 수립한다.
• 최근의 수정된 Szász-Mirakjan-Kantorovich 연산자 및 Dunkl-Stancu 연산자 연구를 확장하기 위해 두 가지 수정을 통합한다.

제안 방법

• 선형 보존을 보장하기 위해 $x \geq \frac{1}{2}$에서 $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$의 이동된 인자 $r_n(x)$를 사용하여 수정된 연산자 $K_n^*(f;x)$를 정의한다.
• Dunkl 지수 함수 $e_\mu(x)$와 일반화된 계승 $\gamma_\mu(k)$를 사용하여 $\mu \geq 0$인 경우에 연산자를 구성한다.
• Kantorovich 유형 적분 수정을 적용한다: $K_n^*(f;x) = \frac{n}{e_\mu(n r_n(x))} \sum_{k=0}^\infty \frac{(n r_n(x))^k}{\gamma_\mu(k)} \int_{\frac{k+2\mu\theta_k}{n}}^{\frac{k+1+2\mu\theta_k}{n}} f\left(\frac{nt+\alpha}{n+\beta}\right) dt$.
• 연속 함수 $[0,\infty)$에서의 수렴을 증명하기 위해 Korovkin 정리와 가중치 Korovkin 이론을 적용한다.
• 두 번째 차수의 연속성 모듈러스 $\omega_2(f;\delta)$와 Peetre의 $K$-함수를 사용하여 수렴 속도를 확립한다.
• 두 번째 차수의 연속성 모듈러스 및 $K$-함수와의 비교를 통해 정량적 추정을 유도하며, 명시적인 수렴 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Szász-Kantorovich 연산자를 어떻게 수정하여 $[\frac{1}{2}, \infty)$에서의 근사 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 Stancu 및 Dunkl 일반화를 결합함으로써 기존 연산자들과 비교해 더 나은 수렴 성질을 얻을 수 있는가?
• RQ3 이 새로운 연산자가 리프시츠 클래스 및 $C_{\zeta}[0,\infty)$에 속하는 함수에 대해 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 이동 $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$의 포함이 근사 행동과 오차 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Dunkl 매개변수 $\mu$는 수렴 속도와 오차 추정에 어느 정도의 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 연산자 $K_n^*(f;x)$는 선형 함수를 보존하며, $K_n^*(1;x) = 1$ 및 $K_n^*(t;x) = x$를 만족한다.
• 이 연산자는 고전적 Dunkl Szász-Kantorovich 및 Stancu 연산자들과 비교해 $[\frac{1}{2}, \infty)$에서 더 나은 오차 추정을 달성한다.
• $f \in C_B[0,\infty)$에 대해 수렴 속도는 $\omega_2\left(f; \sqrt{\frac{(\frac{2n}{n+\beta}-2)x + \frac{2\alpha}{n+\beta} + \delta_{n,x}^*}{4}}\right)$로 경계되며, $\delta_{n,x}^*$는 명시적으로 정의되어 있다.
• 정량적 추정이 확립되었으며, $\|K_n^*(f) - f\| \leq 2M\left\{ \omega_2(f; \sqrt{\cdot}) + \min(1, \cdot) \|f\| \right\}$로 표현되며, $M$은 양의 상수이다.
• Peetre의 $K$-함수는 $K_2(f,\delta) \leq C \omega_2(f, \delta^{1/2})$를 만족하여, 두 번째 차수의 연속성 모듈러스를 수렴 분석에 활용할 수 있다.
• $\mu = 0$일 때, 이 연산자는 Duman(2014)의 수정된 Szász-Mirakjan-Kantorovich 연산자로 축소되며, $\alpha = \beta = 0$일 때는 그들의 Dunkl 일반화로 축소된다.