[논문 리뷰] Modular categories and orbifold models II

Alexander Kirillov|ArXiv.org|2001. 10. 19.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체적 장이론에서 오비폴드 모델의 분류를 확장하여, 고정점에 대한 정점 연산자 대수 $\mathcal{V}^G$ 위의 모듈러 범주가 비틀린 $\mathcal{V}$-모듈러 범주와 그 위의 군 작용으로부터 재구성될 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 범주가 모듈러일 경우 오비폴드 범주는 비틀린 드린펠트 이중 $D^\omega(G)$의 표현 범주와 동치가 된다는 것이다. 이는 이전의 헬로모르픽 경우에 대한 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

This is a continuation of the paper "Modular tensor categories and orbifold theories", arXiv:math.QA/0104242. It discusses orbifold models of conformal filed theory, or, in mathematical language, question of constructing the category of representations of the fixed point algebra $V^G$ for a given vertex operator algebra $V$ with an action of a finite group $G$. The previous paper gave a proof of well-known conjecture of Dijkgraaf-Vafa-Verlinde-Verlinde giving a complete answer to this question in the holomorphic case (when $V$ has a unique simple module, $V$ itself) under the assumption that categories of rrepresentations of $V$, $V^G$ are modular tensor categories. In the current paper, we give a partial answer in non-holomorphic case. In particular, we show that the category of representations of $V^G$ is completely determined by the category of twisted $V$-modules together with the action of $G$ on this category. Our approach is based on describing representations of $V$, $V^G$ and relation between them in terms of tensor categories and avoids using the technique of VOAs as much as possible.

연구 동기 및 목표

• 유한체적 장이론에서 오비폴드 모델의 분류를 헬로모르픽 경우를 초월하여 일반화하기 위해.
• 고정점 대수 $\mathcal{V}^G$ 위의 모듈러 범주 $\mathcal{C}$를 비틀린 $\mathcal{V}$-모듈러 범주와 군 $G$의 작용으로부터 재구성하기 위해.
• 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$가 모듈러가 되는 조건과 이 조건이 비틀린 모듈러의 지지도와 어떻게 관련되는지 규명하기 위해.

제안 방법

• 정점 연산자 대수를 카테고리적 구조로 대체하여 브레이드된 텐서 범주 언어로 오비폴드 문제를 재구성하기.
• 모듈러 범주 내의 교환 법칙을 가진 대수 $A$에 대해 $G$-등변 $A$-모듈러의 범주 $({\rm Rep}A)^G$를 정의하기.
• 각 $g \in G$에 대해 $\Pi_g(X) = X^{g^{-1}}$로 주어지는 비틀기 함수를 통한 $\rm Rep A$ 위의 군 작용을 정의하며, 이는 $A$-모듈러의 범주 위에 군 작용을 정의한다.
• 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$를 $({\rm Rep}A)^G$로 구성하여, 이가 브레이드된 텐서 구조를 상속함을 보이기.
• 범주 $\mathcal{C}$의 $s$-행렬이 비특이적임과 $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$ for all $g \in G$가 동시에 성립하는 것과 동치임을 증명하여, 모듈러성을 확보하기.
• 모든 $g \in G$에 대해 $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$임을 이용해 $s$-행렬의 특이성을 제거함으로써, 조건을 만족할 경우 모듈러성이 보장됨을 확인하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정점 대수 $\mathcal{V}^G$ 위의 모듈러 범주 $\mathcal{C}$는 비틀린 $\mathcal{V}$-모듈러 범주와 그 위의 군 작용으로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ2 비헬로모르픽 경우에서 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$를 완전히 결정하기 위해 추가로 어떤 자료가 필요한가?
• RQ3 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$가 언제 모듈러가 되며, 이는 비틀린 모듈러의 지지도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 비헬로모르픽 설정에서 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$는 비틀린 드린펠트 이중 $D^\omega(G)$의 표현 범주와 동치인가?
• RQ5 범주 $\mathcal{C}$는 $\mathcal{C}_1$, 즉 $\rm Rep^0 A$와의 비쌍대가 비영인 모듈러로 생성되는 부분범주로부터 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 범주 $\mathcal{C}$가 모듈러이면서 $\mathcal{V}$-모듈러 범주가 헬로모르픽일 경우, 오비폴드 범주 $\mathcal{C}$는 비틀린 드린펠트 이중 $D^\omega(G)$의 표현 범주와 동치이다.
• 범주 $\mathcal{C}$가 모듈러일 경우, $\rm Rep A$와 그 위의 $G$-작용으로부터 완전히 결정됨을 보였다.
• $\mathcal{C}$의 $s$-행렬이 비특이적임과 $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$ for all $g \in G$가 동시에 성립하는 것과 동치이며, 이는 모듈러성을 보장한다.
• $H = \{g \in G \mid \operatorname{Rep}_g A \neq 0\}$는 $G$의 정규부분군이며, $H \neq G$이면 $s$-행렬이 특이해지며, 이는 모듈러성과 모순된다.
• $\mathcal{C}$를 $\mathcal{C}_1$로부터 재구성하는 것은 일반적으로 불가능하며, 이는 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$가 한도의 근에서의 예시에서 $\mathcal{C}_1$이 짝수 무게 모듈러에 대응하기 때문이다.
• $\mathcal{C}_1$로부터 $\mathcal{C}$를 복구하는 문제는 표준적 군 확장 문제보다 이중적이며 훨씬 더 어렵고, 특히 $\mathcal{C}_1$이 탄나카이가 아닐 경우 더욱 그러하다.