[논문 리뷰] Modular forms applied to the computational inverse Galois problem

Johan Bosman|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 형식과 세르의 추측을 이용하여, ℚ 위에서의 Galois 군이 PSL₂(𝔽₂₅), PSL₂(𝔽₃₂), PSL₂(𝔽₄₉), PGL₂(𝔽₂₅), PGL₂(𝔽₂₇)인 최초로 명시적으로 알려진 다항식을 제시한다. 모듈러 Galois 표현을 통해 이러한 표현이 원하는 사영 Galois 군을 유도함을 증명하며, 이들 군이 ℚ 위에서 실제로 실현됨을 보여준다.

ABSTRACT

For each of the groups PSL2(F25), PSL2(F32), PSL2(F49), PGL2(F25), and PGL2(F27), we display the first explicitly known polynomials over Q having that group as Galois group. Each polynomial is related to a Galois representation associated to a modular form. We indicate how computations with modular Galois representations were used to obtain these polynomials. For each polynomial, we also indicate how to use Serre's conjectures to determine the modular form giving rise to the related Galois representation.

연구 동기 및 목표

• PSL₂(𝔽q) 및 PGL₂(𝔽q) 형태의 특정 유한군에 대해 계산적 역 Galois 문제를 해결하는 것.
• 이들 군과 동형인 Galois 군을 갖는 ℚ[x] 내의 명시적 다항식을 구성하는 것.
• 모듈러 형식과 그에 관련된 Galois 표현이 어떻게 이러한 다항식을 계산하는 데 사용될 수 있는지 보여주는 것.
• 컴퓨터 기반 기법과 세르의 추측과 같은 이론적 도구를 이용해 각 구성된 다항식의 Galois 군을 검증하는 것.
• 모듈러 형식과 ℚ 위에서 사영 선형군으로서의 Galois 군 실현을 연결하는 체계적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 신형 f ∈ S₂(Γ₁(N)) 및 네벤티푸스 특성 ϵf 를 이용해 2차원 mod ℓ Galois 표현 ρf,λ: Gℚ → GL₂(𝔽λ) 를 구성하는 것.
• mod ℓ 표현을 GL₂(𝔽λ) → PGL₂(𝔽λ) 의 사영 사상과 조합하여, 유한체 위의 사영 선형군과 동형인 이미지를 갖는 사영 표현 ρ̃f,λ 를 얻는 것.
• 딕슨의 분류와 함수 θ: PGL₂(𝔽q) → 𝔽q 를 이용해 사영 표현의 이미지가 PSL₂(𝔽q) 와 일치하는지 테스트하는 것.
• θ(G) = 𝔽q 이다 ⇔ G = PSL₂(𝔽q) 라는 조건을 이용해 이미지가 전체 군임을 검증하는 것.
• 세르의 추측을 활용해 각 Galois 표현과 관련된 특정 모듈러 형식 f 를 수준 N, 무게 k, 계수 체를 통해 식별하는 것. 이는 a₂(f) 의 최소 다항식을 이용한다.
• ρ̃f,λ 의 이미지를 ℚ 위에서 Galois 군으로 실현하는 다항식 Pf,λ ∈ ℚ[x] 의 분해체를 구성하는 것. 이 다항식의 차수는 #𝔽λ + 1 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합수 q 에 대해 PSL₂(𝔽q) 및 PGL₂(𝔽q) 형태의 주어진 Galois 군을 갖는 ℚ 위에서의 다항식을 명시적으로 구성하는 데 모듈러 형식을 사용할 수 있는가?
• RQ2 구성된 다항식의 Galois 군이 정확히 PSL₂(𝔽q) 또는 PGL₂(𝔽q) 임을 확인하기 위해 어떤 계산적 방법을 사용할 수 있는가? 특히 진부분군이 아닌가를 검증하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 다른 Galois 표현으로부터 유도된 다항식과 관련된 모듈러 형식을 식별하는 데 세르의 추측이 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 사영 Galois 표현의 이미지가 전체 군임을 확인하는 데 트레이스 제곱 대 행렬식 비율 함수 θ 는 어느 정도의 기준으로 사용될 수 있는가?
• RQ5 모듈러 형식 f 로부터 구성된 다항식 Pf,λ 이 실제로 사영 이미지를 ℚ 위에서 Galois 군으로 실현하는지 보장하는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 Galois 군이 PSL₂(𝔽₂₅ 인 최초로 알려진 명시적 다항식을 제시한다. 이 다항식의 판별식은 5²⁸·29²⁰ 이며, 5 에서는 분해형식 1¹1⁵1²⁰, 29 에서는 1¹1⁵2⁵2⁵ 로 분해된다.
• PSL₂(𝔽₃₂) 에 대해서는 판별식 2⁶²·157¹⁶ 인 다항식이 구성되었으며, 2 와 157 에서 분해형식이 각각 1¹1³² 과 1¹(2²)⁸ 이다.
• PSL₂(𝔽₄₉) 의 다항식은 판별식 7⁵⁶·23⁴² 이며, 7 에서는 1¹1⁴⁹, 23 에서는 1¹1⁷3⁷3⁷ 로 분해되며, 계수 체는 x² + x - 1 의 근으로 생성된다.
• PGL₂(𝔽₂₅) 에 대해서는 차수 26 의 다항식이 구성되었으며, 판별식은 5³⁰·17²¹ 이고, 5 와 17 에서 분해형식은 각각 1¹1²⁵ 와 1¹1¹3⁸ 이다.
• PGL₂(𝔽₂₇) 에 대해서는 세 개의 다항식이 주어졌으며, 판별식은 각각 3³⁹·41¹⁸, 3³⁹·47¹⁸, 3³⁹·53¹⁸ 이다. 모두 3 과 각각의 소수에서 분해형식이 1¹1²⁷ 과 1¹1³(2³)⁴ 로 나타난다.
• 모든 경우에서 관련된 모듈러 형식 f 는 수준 N, 무게 k=2, 그리고 a₂(f) 의 최소 다항식으로 유일하게 결정되며, 이는 세르의 추측을 통해 Galois 표현과의 연결을 확인한다.