[논문 리뷰] Modular forms in the spectral action of Bianchi IX gravitational instantons

Wentao Fan, Farzad Fathizadeh외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 17.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $SU(2)$-불변 비아키 IX 중력 순간해의 스펙트럼 작용이 깊이 있는 산술적 구조를 가지며, 각 Seeley-de Witt 계수 $\tilde{a}_{2n}$ 가 무게 2의 벡터값 함수 또는 일반적인 모듈라 함수로 나타남을 밝혀낸다. 순간해를 특성과 함께 가진 타우 함수로 매개변수화하고 디랙 연산자의 등스펙트럴성(isodegeneracy)을 활용하여 유리수 매개변수 궤도 위의 합을 취할 경우, 스펙트럼 기하학과 고전적 모듈라 형식 간의 연결 고리가 형성됨을 보여준다. 이는 스펙트럼 기하학과 모듈라 형식 간의 연결 고리가 된다. 특히, 스펙트럼 기하학과 모듈라 형식 간의 연결 고리가 된다.

ABSTRACT

Following our result on rationality of the spectral action for Bianchi type-IX cosmological models, which suggests the existence of a rich arithmetic structure in the action, we study the arithmetic and modular properties of the action for an especially interesting family of metrics, namely $SU(2)$-invariant Bianchi IX gravitational instantons. A variant of the previous rationality result is first presented for a time-dependent conformal perturbation of the triaxial Bianchi IX metric which serves as a general form of Bianchi IX gravitational instantons. By exploiting a parametrization of the gravitational instantons in terms of theta functions with characteristics, we show that each Seeley-de Witt coefficient $ ilde a_{2n}$ appearing in the expansion of their spectral action gives rise to vector-valued and ordinary modular functions of weight 2. We investigate the modular properties of the first three terms $ ilde a_0$, $ ilde a_2$ and $ ilde a_4$ by preforming direct calculations. This guides us to provide spectral arguments for general terms $ ilde a_{2n}$, which are based on isospectrality of the involved Dirac operators. Special attention is paid to the relation of the new modular functions with well-known modular forms by studying explicitly two different cases of metrics with pairs of rational parameters that belong to two different general families. In the first case, it is shown that by running a summation over a finite orbit of the rational parameters, up to multiplication by the cusp form $Δ$ of weight 12, each term $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of modular forms of weight 14. In the second case, it is proved that, after a summation over a finite orbit of the parameters and multiplication by $G_4^4$, where $G_4$ is the Eisenstein series of weight 4, each $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of cusp forms of weight 18.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 작용의 산술적 및 모듈라 구조를 $SU(2)$-불변 비아키 IX 중력 순간해에서 조사한다.
• 스펙트럼 작용 전개에서의 Seeley-de Witt 계수 $\tilde{a}_{2n}$ 가 모듈라 형식 또는 벡터값 모듈라 함수인지 여부를 규명한다.
• 유리수 매개변수의 유한 궤도 위에서의 합을 통해 스펙트럼 계수와 고전적 모듈라 형식(예: $\Delta$ 및 $G_4^4$) 간의 명시적 연결 고리를 수립한다.
• 특성과 함께 가진 타우 함수를 통한 매개변수화를 활용하여 스펙트럼 작용의 유리성 구조를 더 풍부한 모듈라 프레임워크로 확장한다.

제안 방법

• $SU(2)$-불변 비아키 IX 중력 순간해를 파incare VI 방정식과 할펜 시스템의 해로부터 유도된 특성과 함께 가진 타우 함수로 매개변수화한다.
• 삼축 비아키 IX 계량의 시간에 따라 변하는 등각 변형을 통해 와이어르-텐서의 자기 dual 조건을 만족하는 아인슈타인 계량을 구성함으로써 중력 순간해를 정의한다.
• 이 순간해 계량 위의 디랙 연산자에 비국소적 잔여치와 미분형식 해석학을 적용하여 Seeley-de Witt 계수 $\tilde{a}_{2n}$ 를 계산한다.
• 스펙트럼 계수의 모듈라 변환 성질을 도출하기 위해 $\tilde{D}^2[q_0]$ 과 $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$ 사이, 그리고 $\tilde{D}^2[q_0]$ 와 $\tilde{D}^2[q_0 - i]$ 사이의 등스펙트럴성을 확립한다.
• $\tilde{a}_0$, $\partial\tilde{a}_2$, $\tilde{a}_4$ 의 직접 계산을 통해 모듈라 변환 패턴을 규명하고, 스펙트럼 항등식을 통해 $\tilde{a}_{2n}$ 으로 일반화한다.
• 유리수 매개변수 $p,q$ 의 유한 궤도 위에서의 합을 적용하여, $\tilde{a}_{2n}$ 이 $\Delta$ (무게 12) 와 곱해진 후 무게 14의 모듈라 형식의 1차원 공간에 속함을 보이고, $G_4^4$ 와 곱해진 후 무게 18의 촉점형식의 1차원 공간에 속함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아키 IX 중력 순간해에서 스펙트럼 작용의 Seeley-de Witt 계수 $\tilde{a}_{2n}$ 는 모듈라 불변성을 보이는가?
• RQ2 스펙트럼 계수는 벡터값 또는 일반적인 모듈라 함수로 표현될 수 있으며, 그들의 무게는 무엇인가?
• RQ3 스펙트럼 계수와 고전적 모듈라 형식(예: $\Delta$ 및 $G_4^4$) 간의 명시적 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 유리수 매개변수 $p,q$ 의 유한 궤도 위에서의 합은 스펙트럼 계수를 알려진 모듈라 형식 공간으로 어떻게 변환하는가?
• RQ5 디랙 연산자의 등스펙트럴성과 타우 함수 매개변수화가 모듈라 구조 수립에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• $\tilde{a}_0$, $\tilde{a}_2$, $\tilde{a}_4$ 의 첫 세 Seeley-de Witt 계수는 직접 계산을 통해 무게 2의 벡터값 및 일반적인 모듈라 함수로 나타남을 입증하였다.
• 비영인 진공 에너지 상수를 가진 이중 매개변수 계량 가족에 대해, 유리수 매개변수 궤도 위의 합을 취할 경우, $\tilde{a}_{2n}$ 이 촉점형식 $\Delta$ (무게 12) 와 곱해진 후 무게 14의 모듈라 형식의 1차원 공간에 속함을 보였다.
• 진공 에너지 상수가 0인 단일 매개변수 계량 가족에 대해, 유리수 매개변수 궤도 위의 합을 취할 경우, $\tilde{a}_{2n}$ 이 $G_4^4$ 와 곱해진 후 무게 18의 촉점형식의 1차원 공간에 속함을 보였다. 여기서 $G_4$ 는 무게 4의 아이젠스타인 급수이다.
• 스펙트럼 작용 계수 $\tilde{a}_{2n}$ 이 모듈라 형식의 유리수 조합으로 표현됨을 입증하여, 스펙트럼 전개 내 산술적 구조를 확인하였다.
• 디랙 연산자 $\tilde{D}^2[q_0]$ 와 $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$ 간의 등스펙트럴성은 계수의 모듈라 변환 성질에 대한 스펙트럼적 근거를 제공한다.
• 특성과 함께 가진 타우 함수를 통한 중력 순간해의 매개변수화가 스펙트럼 작용 내에서 모듈라 함수의 명시적 실현을 가능하게 하여, 수론과 양자 중력 간의 연결 고리를 형성한다.