[논문 리뷰] Modular functor and representation theory of \hat{sl}_{2} at a rational level

B. Feigin. F. Malikov|ArXiv.org|1995. 11. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 3인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 Kac-Wakimoto의 적응 표현과 일반화된 Weyl 모듈을 사용하여 $\hat{\frak{sl}}_2$의 유리수 수준에서 새로운 모듈러 함수를 도입한다. 이 함수는 파라보릭 랭크 2 번들의 모듈리 공간 위에 특이 ${\cal D}$-모듈을 구성하며, 주요 결과로는 적응 표현의 경우로 일반화된 표준 WZW 융합에 해당하는 버린데 유형의 공식을 얻는다. 이는 버린데 대수를 $\frak{osp}(1|2)$와 $\frak{sl}_2$의 유한차원 표현의 코hen-그로텐디크 링의 곱으로 실현한다.

ABSTRACT

We define a new modular functor based on Kac-Wakimoto admissible representations and the corresponding D-module on the moduli space of rank 2 vector bundles with parabolic structure. A new fusion functor arises which is related to representation theory of the pair "osp(1|2),sl(2)" in the same way as the fusion functor for the Virasoro algebra is related to representation theory of the pair "sl(2),sl(2)"

연구 동기 및 목표

• 유리수 수준에서 $\widehat{\frak{sl}}_2$의 Kac-Wakimoto 적응 표현을 기반으로 하는 새로운 모듈러 함수를 정의한다.
• 랭크 2 벡터 번들의 모듈리 공간 위에 파라보릭 구조를 가진 표면에 대한 특이 ${\cal D}$-모듈을 구성하며, 세갈의 모듈러 함수를 적응 최고 무게로 확장한다.
• $(\frak{osp}(1|2), \frak{sl}_2)$ 쌍과 관련된 새로운 융합 함수를 정의하며, 이는 $(\frak{sl}_2, \frak{sl}_2)$ 쌍과 관련된 바이러스로로 융합 함수와 유사하다.
• 적응 표현의 버린데 대수에서의 음수 계수 문제를 해결하기 위해 올바른 텐서 범주를 규명한다.
• 세 개의 구멍이 있는 구면으로의 축소를 통해 코인variants 공간의 차원을 계산하는 조합론적 알고리즘을 제공한다.

제안 방법

• 특이 벡터로 나누어진 베르마 모듈의 몫으로서 일반화된 Weyl 모듈을 정의하며, $(V_r^\epsilon, V_s)$ 형태로 매개변수화한다. 여기서 $r,s \geq 0$, $\epsilon \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$이다.
• 적응 최고 무게를 사용하여 랭크 2 번들, 구멍, 섬유 위의 직선을 가진 구멍이 있는 표면에 유한차원 벡터 공간을 할당하는 모듈러 함수를 구성한다.
• 파라보릭 번들의 모듈리 공간 위에 새로운 ${\cal D}$-모듈을 정의하며, 히친의 글로벌 니플로턴 콘과 관련된 집합에서 특이성을 갖는다.
• ${\cal D}$-모듈이 무한대에서 정상적인 특이성을 가지며, 일반적인 섬유 차원이 세 개의 구멍이 있는 구면으로의 압축을 통해 계산 가능하다는 것을 증명한다.
• 일반화된 Weyl 모듈 사이의 모든 정점 연산자를 스크리닝 연산자 $R_0, R_1$으로 생성하고, 표준 스크리닝 $S$와 조합하여 모든 상관 함수를 생성한다.
• 적분 연산자 $\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$ 형태의 적분 연산자를 통해 KZ형 시스템의 해를 구성하며, Varchenko-Schechtman 상관 함수를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 수준에서 $\widehat{\frak{sl}}_2$의 적응 표현으로의 모듈러 함수를 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ2 적응 표현의 융합 규칙의 구조는 무엇이며, 표준 WZW 모델과 어떻게 다를까?
• RQ3 파라보릭 번들의 모듈리 공간 위의 ${\cal D}$-모듈은 특이성과 단일화에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ4 $(\frak{osp}(1|2), \frak{sl}_2)$ 쌍이 융합 규칙의 표현론적 해석에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 스크리닝 연산자와 적분 변환을 통해 적응 표현의 상관 함수를 체계적으로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• $\widehat{\frak{sl}}_2$의 적응 표현에 대한 버린데 대수는 $\frak{osp}(1|2)$와 $\frak{sl}_2$의 유한차원 표현의 코헨-그로텐디크 링의 곱과 동형이다.
• 일반화된 Weyl 모듈의 융합 규칙은 $ (V_{r_1}^\alpha, V_{s_1}) \circ (V_{r_2}^\beta, V_{s_2}) = \sum_{k=|r_1 - r_2|}^{r_1 + r_2} (V_k^{\alpha + \beta}, V_{s_1} \otimes V_{s_2}) $ 로 주어지며, 합에서 교대 부호가 존재한다.
• 구축된 ${\cal D}$-모듈은 히친의 글로벌 니플로턴 콘과 관련된 집합에서 특이성을 가지며, 기존의 구성과 구별된다.
• 세 모듈이 있는 구면에서의 코인variants 공간의 차원은 무한차원 설정에서 순수 선형대수 계산을 통해 계산된다.
• 스크리닝 연산자 $R_0, R_1$는 일반화된 Weyl 모듈 간의 모든 정점 연산자를 생성하며, 표준 스크리닝 $S$와 조합하여 모든 상관 함수를 생성한다.
• KZ형 시스템의 해는 $\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$ 형태의 적분 연산자로 주어지며, 이는 유리수 수준의 경우에 수평 섹션임을 보였다.