[논문 리뷰] Modular Hamiltonians for Euclidean Path Integral States

Srivatsan Balakrishnan, Onkar Parrikar|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 31.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 53인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상대론적 양자장론에서 반공간/Rindler 영역의 모듈라 해밀토니안에 대해 명백히 로렌츠 불변인 공식을 유도한다. 이는 유클리드 경로적분에서 원천에 의해 생성된 비진공 상태에 적용 가능하며, 원천 강도에 대한 페르미우드 급수로 표현할 수 있으며, 영향을 미치는 변형의 경우 전순위 재정렬이 가능하여 Rindler 수평선의 영향을 받는 영역에서 알려진 진공 모듈라 해밀토니안과 정확히 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

We study half-space/Rindler modular Hamiltonians for excited states created by turning on sources for local operators in the Euclidean path integral in relativistic quantum field theories. We derive a simple, manifestly Lorentzian formula for the modular Hamiltonian to all orders in perturbation theory in the sources. We apply this formula to the case of shape-deformed half spaces in the vacuum state, and obtain the corresponding modular Hamiltonian to all orders in the shape deformation in terms of products of half-sided null energy operators, i.e., stress tensor components integrated along the future and past Rindler horizons. In the special case where the shape deformation is purely null, our perturbation series can be resummed, and agrees precisely with the known formula for vacuum modular Hamiltonians for null cuts of the Rindler horizon. Finally, we study some universal properties of modular flow (corresponding to Euclidean path integral states) of local operators inside correlation functions in conformal field theories. In particular, we show how the flow becomes the local boost in the limit where the operator being flowed approaches the entanglement cut.

연구 동기 및 목표

• 반공간 영역에서 상대론적 양자장론의 진공 상태를 초월한 일반적이고 명백히 로렌츠 불변인 모듈라 해밀토니안 표현을 개발하는 것.
• 유클리드 경로적분 형식에서 국소 원천에 의해 생성된 비진공 상태로 모듈라 해밀토니안의 페르미우드 방법을 확장하는 것.
• 진공 상태에서 형태가 변형된 반공간에 대한 모듈라 해밀토니안을 유도하여, 반측면 영향 에너지 연산자의 곱으로 표현하는 것.
• 영향을 미치는 변형의 경우 페르미우드 급수가 정확히 재정렬 가능하며, Rindler 수평선의 영향을 받는 영역에서 알려진 진공 모듈라 해밀토니안을 복원하는 것.
• 특히 엔트로피 절단에 가까워질 경우, 등각장론에서 국소 연산자의 모듈라 흐름의 보편적 성질을 조사하는 것.

제안 방법

• 원천 강도 λ에 대한 모듈라 해밀토니안의 페르미우드 전개를 통해, 유클리드 경로적분에서 국소 연산자에 결합된 원천을 통해 진공 상태의 변형으로 간주하는 비진공 상태를 다룸.
• 모듈라 해밀토니안의 전순위 페르미우드 이론에서의 닫힌 형태 표현을 유도하며, 식 (3)에 의해 주어지며, 모듈라 흐름을 거친 연산자의 시간 순서 곱을 포함함.
• 식 (6)과 같이 진공 모듈라 해밀토니안 K를 이용한 코남칭을 통해 모듈라 흐름을 정의함으로써 시간 순서 연산자 O(s,Y)를 정의함.
• 레플리카 기법과 유클리드 경로적분 상태로의 해석적 계속을 적용하여, 모듈라 해밀토니안의 로렌츠 불변 표현을 가능하게 함.
• 시간 순서 변수의 단계 함수와 순서 정렬을 사용하여 페르미우드 급수를 재구성하고 단순화함. 특히 합산에서 T-항과 P-항에 대해.
• 순열을 이진 문자열로 매핑하여 페르미우드 급수의 항들 사이의 상쇄 메커니즘을 식별함으로써 정확한 상쇄와 단순화된 최종 표현을 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 경로적분에서 원천을 통해 생성된 상대론적 양자장론의 비진공 상태에 대해 명백히 로렌츠 불변인 모듈라 해밀토니안 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 진공 상태에서 형태가 변형된 반공간에 대한 모듈라 해밀토니안은 변형 프로파일에 어떻게 의존하는가? 그리고 스트레스 텐서 성분으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 특히 순수하게 영향을 미치는 변형의 경우, 원천 전개에 대한 모듈라 해밀토니안의 페르미우드 급수가 정확히 재정렬 가능한가?
• RQ4 등각장론에서 국소 연산자의 모듈라 흐름은 엔트로피 절단에 가까워질수록 어떤 보편적 행동을 보이는가?
• RQ5 모듈라 흐름과 그 결과로 도출된 해밀토니안의 해석적 구조는 히알로지컬 이론에서 엔트로피 와이어의 기하학적 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 유클리드 경로적분 상태에 대한 모듈라 해밀토니안은 전순위 페르미우드 이론에서 명백히 로렌츠 불변 표현으로 유도되었으며, 식 (3)에 의해 주어지며, 모듈라 흐름을 거친 연산자의 시간 순서 곱을 포함함.
• 진공 상태에서 형태가 변형된 반공간에 대해 모듈라 해밀토니안은 반측면 영향 에너지 연산자의 곱의 합으로 표현되며, 미래 및 과거 Rindler 수평선을 따라 스트레스 텐서 성분의 적분에 해당함.
• 순수하게 영향을 미치는 변형의 경우, 페르미우드 급수가 정확히 재정렬되었으며, 그 결과 Rindler 수평선의 영향을 받는 영역에 대해 알려진 진공 모듈라 해밀토니안 공식과 일치함.
• 등각장론에서 국소 연산자의 모듈라 흐름은 연산자가 엔트로피 절단에 가까워질수록 국소 부스트 대칭으로 수렴함을 보여주며, 보편적인 기하학적 행동을 드러냄.
• 페르미우드 급수의 항들 사이에 상쇄 메커니즘이 식별되었으며, 순서 변수의 순열을 이진 문자열로 매핑함으로써 정확한 상쇄와 단순화된 최종 표현을 도출함.
• 유도 과정은 모듈라 해밀토니안의 구조와 엔트로피 영역의 기본 인과적 및 기하학적 구조 사이의 직접적인 연결을 확립하며, 특히 Rindler 수평선과 모듈라 흐름의 역할을 통해 이를 드러냄.