[논문 리뷰] Modular invariance of vertex operator algebras satisfying C_2-cofiniteness

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|2002. 09. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 정점 연산자 대수(VOA)에서 $C_2$-cofiniteness가 유일하게 존재할 경우 일반화된 특성 함수 공간의 모듈라 불변성과 중심 전하 및 콪포르탈 무게의 유리성을 암시함을 확립한다. 허위-트레이스 함수와 대칭 대수 기법을 도입함으로써, 저자에게서 일반화된 특성 함수 공간이 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변임을 증명하였으며, Zhu 대수의 반단순성 조건 없이도 $C_2$-cofiniteness가 합리적 conformal field theory 성질을 충족시킴을 확인한다.

ABSTRACT

We show that C_2-cofiniteness is enough to prove a modular invariance property of vertex operator algebras without assuming the semisimplicity of Zhu algebra. For example, if a VOA V=\oplus_{m=0}^{\infty}V_m is C_2-cofinite, then the space spanned by generalized characters of V-modules is invariant under the action of SL_2(\Z). In this case, the central charge and conformal weights are all rational numbers. Namely, a VOA satisfying C_2-cofiniteness is a rational conformal field theory in a sense. We also show that C_2-cofiniteness is equivalent to the condition that every weak module is an \N-graded weak module which is a direct sum of generalized eigenspaces of L(0).

연구 동기 및 목표

• VOA에서 $C_2$-cofiniteness가 Zhu 대수의 반단순성 조건 없이도 추적 함수의 모듈라 불변성을 암시하는지 결정하는 것.
• 개방된 문제인 $C_2$-cofiniteness가 합리적 conformal field theory(RCFT) 구조를 암시하는지 여부를 해결하는 것.
• $C_2$-cofiniteness 하에서 일반화된 특성 함수(진공의 허위-트레이스 함수)의 공간이 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변임을 확립하는 것.
• $C_2$-cofiniteness가 모든 약한 모듈이 $L(0)$의 일반화된 고유공간의 직합임과 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• Zhu 대수 $A(V)$에서 대칭 선형 사상에 기반한 허위-트레이스 함수를 도입하여 표준 추적 함수를 일반화하는 것.
• 기능적 $\phi$에 대해 상호 연결된 모듈에 대해 일반화된 특성 함수를 $\mathrm{tr}^\phi_W q^{L(0) - c/24}$로 정의하는 것.
• $C_2$-cofiniteness와 약한 모듈의 $L(0)$-일반화된 고유공간 분해 간의 등가성을 이용하여 $q$-전개가 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 허위-트레이스 함수 공간에 모듈라 변환 성질을 적용하여 로그 항을 점진적으로 제거함으로써 $SL_2(\mathbb{Z})$에 대한 불변성을 보이는 것.
• $V/C_2(V)$의 유한 차원성을 활용하여 효과적 중심 전하를 유 bounds하고 콪포르탈 무게의 유리성을 도출하는 것.
• 레마 2.4의 포함 집합 논증을 활용하여 특성 함수의 성장률을 제어하고 $\mathbb{C}[[q]]\left[\tau\right]$ 내 수렴성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VOA에서 $C_2$-cofiniteness가 유일하게 존재할 경우 특성 함수 공간의 모듈라 불변성을 암시하는가?
• RQ2 Zhu 대수 $A(V)$의 반단순성 조건 없이도 모듈라 불변성 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 $C_2$-cofiniteness는 모든 약한 모듈이 $L(0)$의 일반화된 고유공간의 직합임과 동치인가?
• RQ4 $C_2$-cofiniteness는 중심 전하와 콠포르탈 무게가 유리수임을 암시하는가?
• RQ5 일반화된 특성 함수는 $\mathbb{C}[\tau]$ 계수를 가진 일반 특성 함수의 선형 조합으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• Zhu 대수 $A(V)$의 반단순성 조건 없이도 $C_2$-cofiniteness 하에서 일반화된 특성 함수가 생성하는 공간은 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변이다.
• $C_2$-cofiniteness VOA에서 중심 전하 $c$와 모든 콠포르탈 무게는 유리수이다.
• 효과적 중심 전하는 $\tilde{c} \leq \frac{\dim(V/C_2(V)) - 1}{2}$ 를 만족한다.
• 일반화된 특성 함수는 Proposition 5.9에서 보여지듯이 $\mathbb{C}[\tau]$ 계수를 가진 일반 특성 함수의 선형 조합으로 표현된다.
• $C_2$-cofiniteness일 때 모든 약한 모듈은 $L(0)$의 일반화된 고유공간의 직합임과 동치이며, 이는 $V$가 $C_2$-cofinite일 때에만 성립한다.
• 일반화된 특성 함수 공간을 고려할 경우 로그 모듈이 존재하더라도 특성 함수 공간의 모듈라 불변성이 유지된다.