[논문 리뷰] Modular representation theory in type A via Soergel bimodules

Ben Elias, Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 32인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 유형 A의 모듈라 표현 범주—예를 들어 GLn의 유리형 표현, 양자 군, 순환 히드라 알제브라—의 분해 수가 Soergel 이중체를 통한 애핀 p-Kazhdan-Lusztig 다항식에 의해 암호화됨을 확립한다. 양의 특성에서 다이어그램적 Soergel 범주에 카츠-무디 작용을 구성하고 최고 무게의 분류된 Fock 공간에 대한 유일성 결과를 증명함으로써, 저자들은 모듈라 표현 이론과 Soergel-이론적 범주를 연결하며, p-KL 다항식이 표준 모듈러와 기울임 모듈러에서 단순 모듈러의 중복도를 계산함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we express certain multiplicities in modular representation-theoretic categories of type A in terms of affine p-Kazhdan-Lusztig polynomials. The representation-theoretic categories we deal with include the categories of rational representations of GL(n), representations of the quantum group for gl(n), and representations of (degenerate) cyclotomic Hecke and Schur algebras, where the base field is an algebraically closed field of arbitrary prime characteristic. In order to approach this problem we define Soergel-theoretic versions of parabolic categories O in characteristic p. We show that these categories have many common features with the classical parabolic categories O; for example, they are highest weight. We produce a homomorphism from a (finite or affine) type A 2-Kac-Moody category to the diagrammatic version of the category of singular Soergel bimodules (again, of finite or affine type A). This leads to a categorical Kac-Moody action on the Soergel-theoretic categories O. Then we relate the representation-theoretic categories to Soergel-theoretic ones by proving a uniqueness result for highest weight categorical actions on Fock spaces.

연구 동기 및 목표

• 유형 A의 모듈라 표현 범주와 양의 특성에서의 Soergel 이중체 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 특성 p에서의 Soergel-이론적 파라보릭 범주 O의 동반체를 정의하고, 이것이 최고 무게이자 표준적으로 계층화된 구조임을 보여준다.
• 최고 무게의 분류된 Fock 공간에 대한 유일성 결과를 증명하여 표현 이론적 범주와 Soergel-이론적 범주를 식별할 수 있도록 한다.
• GLn의 유리형 표현, 양자 군 모듈러, 순환 히드라 알제브라에서의 분해 수가 애핀 p-KL 다항식을 1에서 평가함으로써 주어진다.

제안 방법

• 유한 및 애핀 유형 A에서의 특이 Soergel 이중체의 다이어그램적 범주를 구성하고, 프로베누스 구조와 추가 관계를 갖춘다.
• 점, 교차, 컵, 캡, 버블을 포함한 생성자와 관계를 통해 다이어그램적 Soergel 범주에 카츠-무디 작용을 정의한다.
• 특성 p에서의 Soergel-이론적 파라보릭 범주 O의 버전을 도입하고, 이것이 최고 무게이자 표준적으로 계층화된 구조임을 보여준다.
• 최고 무게의 분류된 Fock 공간에 대한 유일성 정리를 증명하여, 애핀 히드라 대수의 Fock 공간에 대한 임의의 분류화가 Soergel-이론적 것과 동치임을 보여준다.
• Ringel 쌍대성과 몐체 함수를 이용하여 Soergel-이론적 범주를 고전적 모듈라 표현 이론적 범주와 연결한다.
• Rouquier의 유일성 결과를 적용하여 순환 스처 알제브라와 히드라 대수의 범주를 Soergel-이론적 Fock 공간의 몫 범주와 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈라 표현 범주를 유형 A에서 양의 특성에서 어떻게 분류적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 Soergel 이중체는 모듈라 표현 이론에서 분해 수를 어떻게 실현하는가?
• RQ3 특성 p에서 다이어그램적 Soergel 범주에 카츠-무디 작용을 구성하고 그것이 Fock 공간을 분류화함을 보일 수 있는가?
• RQ4 애핀 p-Kazhdan-Lusztig 다항식은 GLn의 유리형 표현 범주나 양자 군 모듈러에서 분해 수를 어떻게 암호화하는가?
• RQ5 기존의 모듈라 표현 범주와 일치하는 유일한 최고 무게 분류화된 Fock 공간이 존재하는가?

주요 결과

• 소수 특성의 체에서 유리형 GLn-표현의 범주에서의 분해 수는 애핀 p-Kazhdan-Lusztig 다항식 P^p,J_{μ,λ}(1)을 1에서 평가함으로써 주어진다.
• 순환 스처 대수 Se,r_F(n)-mod에서 표준 모듈러의 단순 모듈러 중복도는 궤도 O_λ*와 O_μ*가 일치할 경우 P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1)과 같고, 그렇지 않으면 0이다.
• 순환 히드라 대수에서 He,r_F(n)-mod의 분해 수는 동일한 궤도 조건 하에서 P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1)로 주어지며, 몫 모듈러가 0이 아닐 경우에 한한다.
• 다항식 표현의 범주 Polm,d는 m' > m일 때 Polm',d의 최고 무게 몫이므로, Rep(GLm)의 중복도를 OS_p,0의 중복도로 줄일 수 있다.
• Soergel-이론적 범주 O+e_F(J,n)는 ∆+e(λ*)를 ∆S(λ)로 매핑하는 함자에 의해 Se,r_F(n)-mod와 동치이며, 이 동치는 K-이론 클래스를 유지한다.
• 분류된 Fock 공간의 구조에 대한 유일성은 애핀 히드라 대수의 Fock 공간에 대한 임의의 최고 무게 분류화가 Soergel-이론적 것과 동치임을 보장하며, 이에 따라 모듈라 표현 범주와 Soergel-이론적 범주를 식별할 수 있다.