[논문 리뷰] Modularity of Relatively Rational Vertex Algebras and Fusion Rules of Principal Affine W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상대적 유리성과 유한성 프레임워크를 통해 일련의 등각 구조를 지닌 정점(슈퍼)대수에서 추적 함수의 모듈라 불변성을 확립한다. BRST 축소와 버린드 유형 공식을 이용하여 주요 애질리프 W-대수의 명시적 모듈라 S-행렬 변환과 융합 규칙을 유도하며, 끈이지 않은 상대적 유리 설정으로까지 모듈라성을 확장한다.

ABSTRACT

We study modularity of the characters of a vertex (super)algebra equipped with a family of conformal structures. Along the way we introduce the notions of rationality and cofiniteness relative to such a family. We apply the results to determine modular transformations of trace functions on admissible modules over affine Kac-Moody algebras and, via BRST reduction, trace functions on minimal series representations of principal affine W-algebras.

연구 동기 및 목표

• 변하는 등각 구조를 지닌 정점 대수에 대한 상대적 유리성과 유한성 프레임워크를 개발하기 위해.
• Zhu의 모듈라 정리가 반드시 C2-유한하지 않은 정점 대수에도 일반화될 수 있도록, 현재 h에 대해 상대적으로 유한한 조건으로 확장하기 위해.
• 애질리프 카크-무디 대수의 허용 모듈러스 위에서 추적 함수의 모듈라 S-행렬 변환을 계산하기 위해.
• BRST 축소를 통해 주요 애질리프 W-대수의 최소 시리즈 표현에 대한 융합 규칙을 도출하기 위해.
• 상대적 모듈라 프레임워크를 사용하여 버린드 공식을 W-대수의 주요 허용 수준으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 분해 V = V⁰ ⊕ V⁺ 와 몫 R^rel(V) = V / (V⁰_{(-2)}V⁰ + V_{(-1)}V⁺) 를 이용해 상대적 유리성과 유한성 조건을 도입하기 위해.
• 중립 모드 L₀(h) = L₀ + z h₀ 와 h-안정 모듈러스 위에서의 슈퍼트레이스를 포함한 추적 함수 F_M(τ,z|u) 를 정의하기 위해.
• 소형 |z| 와 상반평면 내 τ 에 대해 F_M(τ,z|u) 의 절대 수렴성을 확보하고, 이로써 모듈라 성질을 보장하기 위해.
• BRST 축소를 적용하여 애질리프 카크-무디 대수 위의 추적 함수와 주요 W-대수 위의 추적 함수를 연결하기 위해.
• 일반화된 버린드 공식과 명시적 특징 공식을 이용해 모듈라 S-행렬 변환을 도출하기 위해.
• I_{p,q} 와 W-대수의 중심 문자 사이의 전단사성을 이용해 S-행렬 계수를 웨일 군 궤도 합과 내적의 형태로 표현하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 C2-유한하지만 현재 h에 의해 가족적인 등각 구조를 지닌 정점 대수에 대해 모듈라 불변성을 상대적 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 상대 설정에서 애질리프 카크-무디 대수의 허용 모듈러스 위의 추적 함수에 대한 S-행렬의 구조는 어떠한가?
• RQ3 어떻게 W-대수 위의 추적 함수의 모듈라 변환은 애질리프 카크-무디 모듈러스의 BRST 축소로부터 유도되는가?
• RQ4 주요 애질리프 W-대수의 최소 시리즈 표현에 대한 융합 규칙의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 상대적 모듈라 프레임워크를 사용하여 버린드 공식을 W-대수의 주요 허용 수준으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 소형 z 에 대해 추적 함수 F_M(τ,z|u) 는 절대 수렴하고 모듈라 불변이며, 이는 상대 설정에서의 모듈라 불변성을 확립한다.
• W-대수의 S-행렬은 웨일 군 궤도에 대한 합으로 명시적으로 계산되며, 내적과 레벨 매개변수를 포함한 지수 함수가 포함되어 있다.
• 기저 애질리프 리 대수의 융합 규칙의 곱으로 주어진, 기저 W-대수 모듈러스의 융합 규칙은 다음과 같다: N_{(λ,λ'),(μ,μ')}^{(ν,ν')} = N_{λ,μ}^ν N_{λ',μ'}^{ν'}.
• 추적 함수 φ_{λ,λ'}(τ|u) 의 모듈라 S-변환은 보조정리 8.4 를 통해 유도되었으며, 이는 이전 결과를 임의의 u ∈ V 로 일반화한다.
• 상대적 유한성 조건 R^rel(V) 가 유한차원이면, V 가 C2-유한하지 않더라도 모듈라 불변성이 보장된다.
• 이 구성은 주요 허용 수준에서 W-대수의 융합 규칙을 버린드 공식과 BRST 축소를 이용해 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공한다.