[논문 리뷰] Modularity of the Rankin-Selberg L-series, and multiplicity one for SL(2)

Dinakar Ramakrishnan|arXiv (Cornell University)|2000. 06. 30.

Analytic Number Theory Research인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 수체 F 위에서 GL(2)의 촉점 자동형 표류에 대한 Rankin-Selberg L함수의 모듈러성을 확립하며, 해당 L함수가 GL(4)/F 상의 자동형 형식에서 유래됨을 증명한다. 역정리, 기저 변경, 내림내림 기법을 사용하여 삼중 곱 L함수의 해석적 계속성과 함수방정식에 오랫동안 남아있던 문제를 해결하며, SL(2)에 대한 다중성 정리에 이를 이르고, 모듈라 곡선의 4중 곱에 대한 타이트 추측에 응용한다.

ABSTRACT

A fundamental question, first raised by Langlands, is to know whether the Rankin-Selberg product of two (not necessarily holomorphic) cusp forms f and g is modular, i.e., if there exists an automorphic form f box g on GL(4)/Q whose standard L-function equals L^*(s, f x g) after removing the ramified and archimedean factors. The first main result of this paper is to answer it in the affirmative, in fact with the base field Q replaced by any number field F. Our proof uses a mixture of converse theorems, base change and descent, and it also appeals to the local regularity properties of Eisenstein series and the scalar products of their truncations. One of the applications of this result is that the space of cusp forms on SL(2) has multiplicity one. Concretely this means the following: If f, g are newforms of holomorphic or Maass type with trivial character such that the squares of the p-th coeficients of f and g are the same at almost all primes p, then g must be a twist of f by a quadratic Dirichlet character.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 임의의 수체 F 위에서 GL(2)/F 상의 촉점 형식 f, g에 대해 Rankin-Selberg L함수 L(s, f × g)의 모듈러성을 해결하고자 한다.
• . 이는 Rankin-Selberg L함수가 GL(4)/F 상의 자동형 표현에서 유래됨을 확인함으로써, 랑글랜즈의 추측을 확인하고자 한다.
• . 이 작업은 SL(2)에 대한 다중성 문제를 다루며, 촉점 형식의 공간이 반복적인 기약 성분을 가지지 않음을 증명한다.
• . 삼중 곱 L함수의 함수방정식과 루트 수를 조사하며, 특히 직교 표현과의 관계를 다룬다.
• . 이 논문은 4중 곱 모듈라 곡선의 타이트 추측에 기여하며, 코homology 내 타이트 클래스의 대수성에 대해 분석한다.

제안 방법

• . GL(4)에 대한 역정리를 사용하며, m ≤ 2인 GL(m)/K 상의 촉점 η에 대해 L(s, Π × η)의 해석적 성질이 필요하다.
• . 가역적 확장 K/F로의 기저 변경을 사용하여, 국소 L군의 Langlands 사상이 초기에 필요 없도록 Rankin-Selberg 상승 π ⊠ π′을 전역적으로 정의한다.
• . GSp(6)/F 상의 아이zenstein 급수의 아르투어의 잘라내기를 적용하여 수직 스트립 내의 유계성을 통제하며, 이는 역정리에 있어 핵심적이다.
• . 랑글랜즈, 터넬, 이카다 등으로부터의 결과를 통합하여, 모든 자리에서 삼중 곱 L함수의 세 후보(오일러乘법, 적분 표현, Langlands-Shahidi)가 동일한 국소 인자를 가짐을 확인한다.
• . 순환층을 거쳐 귀납적 추론을 통해 K 상에서의 자동형 형식을 K에서 F로 내림내림시키며, K 상에서의 모듈러성 증명 후 이를 수행한다.
• . 가역적 기저 변경과 기저 변경의 함의성에 기반한 전역적 추론을 사용하여, L함수가 요구되는 해석적 및 산술적 성질을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . GL(2)/F 상의 촉점 형식 f, g에 대해 Rankin-Selberg L함수 L(s, f × g)는 GL(4)/F 상의 자동형 표현에서 유래되는가?
• RQ2 . 삼중 곱 L함수 L(s, π × π′ × η)가 다양한 구성(오일러 곱, 적분 표현, Langlands-Shahidi)에서 동일한 국소 인자를 가지는지 입증할 수 있는가?
• RQ3 . SL(2) 상의 촉점 형식의 공간은 다중성 하나를 갖는가, 즉 기약 자동형 표현이 중복 없이 나타나는가?
• RQ4 . 삼중 곱 L함수 L(s, π1 × π2 × π3 × π4)의 s = 1에서의 극의 차수는 정확히 얼마이며, 언제 0, 1차, 또는 2차 극을 갖는가?
• RQ5 . 4중 곱 모듈라 곡선의 코homology 내 모든 타이트 클래스는 가역적 확장에서 대수적인가?

주요 결과

• . Rankin-Selberg L함수 L(s, f × g)는 임의의 수체 F 상에서 모듈러성이 있으며, 이는 GL(4)/F 상의 자동형 표현에서 유래됨을 의미한다.
• . 기저 변경 이후, 삼중 곱 L함수 L(s, π × π′ × η)는 모든 자리에서 세 구성(오일러 곱, 적분, Langlands-Shahidi)에서 동일한 국소 인자를 가진다.
• . 촉점 형식의 공간은 SL(2)에서 다중성 하나를 갖는다. 이는 Rankin-Selberg L함수의 모듈러성과 4중 곱의 L함수의 구조를 통해 입증된다.
• . L(s, π1 × π2 × π3 × π4)의 s = 1에서의 극의 차수는 최대 2이며, 특정한 휘팅 조건이 성립할 때에만 0이 아님을 보인다.
• . π3와 π4가 모두 아이젠스타인형일 때, 그리고 (µω1ω3)−1 이 π3 ⊠ π4 내에서 중복도 2로 나타날 경우, 극의 차수는 2이다.
• . 최소한 하나의 Xj가 Nj가 제곱 자유수인 X0(Nj)일 경우, 4중 곱 모듈라 곡선의 코homology 내 모든 타이트 클래스는 가역적 확장에서 대수적이다.