[논문 리뷰] Modularization of small quantum groups

Azat M. Gainutdinov, Simon Lentner외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 짝수 근의 일치에서 $R$-행렬을 가진 양자군 확장을 모odu라화하여, 표준적인 작은 양자군이 인수분해 가능하지 않은 경우에도 작동하는 인수분해 가능한 리본 준호프 대수의 큰 가족—즉, 준양자군—을 구성한다. 이 구성은 비틀린 드린펠트 이중의 보편 몫을 사용하여, 원래의 표현 범주가 브레드되지 않더라도 모듈라 텐서 범주를 얻으며, 이러한 대수에 대한 명시적 생성자와 관계를 제공한다.

ABSTRACT

We construct a large family of ribbon quasi-Hopf algebras related to small quantum groups, with a factorizable R-matrix. Our main purpose is to obtain non-semisimple modular tensor categories for quantum groups at even roots of unity, where typically the initial representation category is not even braided. Our quasi-Hopf algebras are built from modules over the twisted Drinfeld double via a universal construction, but we also work out explicit generators and relations, and we prove that these algebras are modularizations of the quantum group extensions with R-matrices listed in [LO17]. As an application, we find one distinguished factorizable quasi-Hopf algebra for any finite root system and any root of unity of even order (resp. divisible by 4 or 6, depending on the root length). Under the same divisibility condition on a rescaled root lattice, a corresponding lattice Vertex-Operator Algebra contains a VOA W defined as the kernel of screening operators. We then conjecture that W representation categories are braided equivalent to the representation categories of the distinguished factorizable quasi-Hopf algebras. For A_1 root system, our construction specializes to the quasi-Hopf algebras in [GR17b, CGR17], where the answer is affirmative, similiary for B_n at fourth root of unity in [FGR17b, FL17].

연구 동기 및 목표

• 짝수 근의 일치에서 작은 양자군이 인수분해 가능한 $R$-행렬을 갖지 못해 모듈라 텐서 범주를 형성할 수 없는 문제를 해결하기 위해.
• 양자군 이론에서 발생하는 비인수분해 가능 브레드 텐서 범주로부터 모듈라 텐서 범주를 체계적으로 구성하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 이러한 새로운 준양자군과 스크리닝 연산자의 커널로 정의된 초점 연산자 대수(VOA) 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 구성된 준호프 대수에 대한 명시적 생성자와 관계를 제공하여 구축 가능성과 계산 가능성 보장하기 위해.
• 특정 격자 나눗셈 조건 하에서, 이 준양자군의 표현 범주와 특정 $\mathcal{W}$-대수의 표현 범주 사이에 브레드 동치가 존재할 것이라는 추측을 내기 위해.

제안 방법

• 노이클스 대수와 군 대수의 비틀린 드린펠트 이중의 보편 몫을 취하여 새로운 준호프 대수를 생성하는 보편적 구성 방법을 사용한다.
• 표준적인 $R$-행렬이 인수분해 가능하지 않은 브레드 텐서 범주에 대해, [LO17]에서 분류된 양자군 확장과 $R$-행렬을 가진 경우에 모듈라화를 적용한다.
• 원래 대수의 보편 $R$-행렬과 드린펠트 이중의 구조를 이용하여, 결과로 얻은 준양자군에 대해 $R$-행렬을 명시적으로 구성한다.
• 비자명한 조인터레이터를 가진 브레드 모나이드 범주에서 Yetter-Drinfeld 모듈러와 노이클스 대수의 이론을 활용하여 初기 데이터를 구축한다.
• 초기 호프 대수의 표현 범주에서 공끝 구성과 브레드 호프 대수의 구조를 이용하여 모듈라화 함자를 정의한다.
• 비틀린 설정에서 정의된 사상 $Q: H^* \to H$의 전단사성에 의해 결과 준호프 대수의 인수분해 가능성을 검증한다. [BT04]에 따름.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 근의 일치에서 작은 양자군에 대해 표준 $R$-행렬이 인수분해 가능하지 않기 때문에 모듈라 텐서 범주를 형성할 수 없는가?
• RQ2 비인수분해 가능한 양자군 확장과 $R$-행렬을 가진 경우, 인수분해 가능하고 리본적인 준호프 대수의 명시적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이러한 새로운 준양자군의 표현 범주와 초점 연산자 대수(VOA)에서 스크리닝 연산자의 커널로 얻어진 $\mathcal{W}$-대수의 표현 범주 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 근 시스템과 근의 일치 순서에 어떤 조건이 성립할 경우, 특징적인 인수분해 가능 준호프 대수가 존재하는가?
• RQ5 주어진 근 시스템과 근의 일치에 대해, 구성된 준양자군의 표현 범주와 $\mathcal{W}$-대수 범주 사이에 브레드 동치가 존재하는가?

주요 결과

• 비틀린 드린펠트 이중의 몫으로서 인수분해 가능하고 리본적인 준호프 대수의 큰 가족이 구성되었으며, 이는 원래의 양자군 확장에서 인수분해 가능한 $R$-행렬이 없더라도 모듈라 텐서 범주를 제공한다.
• 모든 유한 근 시스템과 짝수 차수의 근의 일치(근 길이에 따라 4 또는 6으로 나누어지는 경우)에 대해 특징적인 인수분해 가능 준호프 대수가 명시적으로 구성된다.
• 구성된 준양자군의 표현 범주는 [LO17]에서 분류된 $R$-행렬을 가진 양자군 확장의 표현 범주의 모듈라화임을 보였다.
• 이 구성은 알려진 예제를 일반화한다: $A_1$의 경우 [GR17b, CGR17]에서의 준양자군을 복원하며, $B_n$의 네 번째 근의 일치에서는 [FGR17b, FL17]의 결과와 일치한다.
• 스케일된 근 격자에 대한 동일한 나눗셈 조건 하에서, 스크리닝 연산자의 커널로 정의된 $\mathcal{W}$-대수의 표현 범주와 특징적인 준양자군 대수의 표현 범주 사이에 브레드 동치가 존재할 것이라는 추측을 제시한다.
• 준양자 대수에 대한 명시적 생성자와 관계가 유도되었으며, 이는 구체적인 계산과 그 구조의 검증을 가능하게 한다.