[논문 리뷰] Module approximate amenability of Banach algebras

Hasan Pourmahmood-Aghababa, Abasalt Bodaghi|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 15.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다른 바나흐 대수 위의 모듈러로 작용하는 바나흐 대수에 대해 모듈러 근사 적으로 애매성과 수축 가능성 이론을 도입하고 발전시킨다. 특히, 모듈러 근사 적으로 애매성과 모듈러 근사 적으로 수축 가능성은 모듈러 대수 위의 가환 바나흐 대수에 대해 동치임을 증명하며, 역 준군 S에 대해, S의 준군 대수 ℓ¹(S)가 ℓ¹(E)-모듈러 근사 적으로 애매성(또는 수축 가능성)을 갖는 것은 S가 애매성을 갖는 것과 동치임을 보이며, 이는 S의 최대 군 준동형 상의 유한성에 따라 ℓ¹(S)의 이중대수 ℓ¹(S)∗∗에 대해서도 유사한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

In the present paper, the concepts of module (uniform) approximate amenability and contractibility of Banach algebras that are modules over another Banach algebra, are introduced. The general theory is developed and some hereditary properties are given. In analogy with the Banach algebraic approximate amenability, it is shown that module approximate amenability and contractibility are the same properties. It is also shown that module uniform approximate (contractibility) amenability and module (contractibility, respectively) amenability for commutative Banach modules are equivalent. Applying these results to $\ell^1(S)$ as an $\ell^1(E)$-module, for an inverse semigroup $S$ with the set of idempotents $E$, it is shown that $\ell^1(S)$ is module approximately amenable (contractible) if and only if it is module uniformly approximately amenable if and only if $S$ is amenable. Moreover, $\ell^1(S)^{**}$ is module (uniformly) approximately amenable if and only if a maximal group homomorphic image of $S$ is finite.

연구 동기 및 목표

• 다른 바나흐 대수 위의 모듈러로 작용하는 바나흐 대수에 대해 근사 적으로 애매성 이론을 확장하기 위해.
• 모듈러(균일, w*-) 근사 적으로 애매성과 모듈러(균일) 근사 적으로 수축 가능성의 정의 및 연구를 위해.
• 가환 바나흐 𝔞-이중모듈러에 대해 모듈러 근사 적으로 애매성과 모듈러 근사 적으로 수축 가능성의 동치성을 확립하기 위해.
• 역 준군 S에 대해, ℓ¹(S)와 ℓ¹(S)∗∗의 모듈러 근사 적으로 애매성 특성화를 S의 최대 군 준동형 상의 애매성과 유한성에 따라 기술하기 위해.

제안 방법

• 다른 바나흐 대수 𝔞 위의 이중모듈러로 작용하는 바나흐 대수의 맥락에서 모듈러 도함수와 모듈러 근사 도함수를 정의하기 위해.
• 강한 연산자 위상에서 내부 도함수의 폐쇄를 이용하여 모듈러(균일) 근사 적으로 애매성과 모듈러(균일) 근사 적으로 수축 가능성의 개념을 도입하기 위해.
• 역 준군의 구조와 그의 등급원 집합 E를 이용하여 ℓ¹(S)를 ℓ¹(E) 위의 모듈러로 분석하기 위해.
• 특히 역 준군에 대해 모듈러 애매성과 애매성이 동치임을 보여주는 모듈러 애매성 이론의 결과를 적용하기 위해.
• 가환 모듈러에 대해 모듈러 균일 근사 적으로 애매성이 모듈러 애매성과 동치임을 이용하며, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 활용하기 위해.
• 이중대수 ℓ¹(S)∗∗가 ℓ¹(E)에 대해 모듈러 균일 근사 적으로 애매성을 갖는 것은 S의 최대 군 준동형 상이 유한할 때이고, 그 반대도 성립함을, 쌍대성과 몫 기법을 통해 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 바나흐 대수 𝔞 위의 모듈러로 작용하는 바나흐 대수 𝒜가 언제 모듈러 근사 적으로 애매성이 있는가?
• RQ2 가환 바나흐 𝔞-이중모듈러에 대해 모듈러 근사 적으로 애매성과 모듈러 근사 적으로 수축 가능성은 동치인가?
• RQ3 역 준군 S와 그의 등급원 집합 E에 대해, ℓ¹(S)가 언제 ℓ¹(E)-모듈러 근사 적으로 애매성 또는 수축 가능성이 있는가?
• RQ4 ℓ¹(S)∗∗의 모듈러 균일 근사 적으로 애매성과 S의 구조 사이에는 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 ℓ¹(S)의 모듈러 균일 근사 적으로 애매성은 S의 애매성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모듈러 근사 적으로 애매성과 모듈러 근사 적으로 수축 가능성은 다른 바나흐 대수 위의 모듈러로 작용하는 가환 바나흐 대수에 대해 동치이다.
• 역 준군 S와 그의 등급원 집합 E에 대해, ℓ¹(S)는 ℓ¹(E)-모듈러 근사 적으로 애매성(또는 수축 가능성)을 갖는다. 이는 S가 애매성임과 동치이다.
• 이중대수 ℓ¹(S)∗∗는 ℓ¹(E)-모듈러(균일) 근사 적으로 애매성을 갖는다. 이는 S의 최대 군 준동형 상이 유한할 때이고, 그 반대도 성립한다.
• 가환 바나흐 𝔞-이중모듈러에 대해, 모듈러 균일 근사 적으로 애매성과 모듈러 애매성이 일치한다.
• Ghahramani와 Loy의 결과의 모듈러 판본이 성립한다: ℓ¹(S)는 ℓ¹(E)-모듈러 근사 적으로 애매성을 갖는다. 이는 S가 애매성임과 동치이다.
• ℓ¹(S)의 모듈러 균일 근사 적으로 수축 가능성은 S의 최대 군 준동형 상의 유한성과 동치이다.