[논문 리뷰] Moduli of curves with nonspecial divisors and relative moduli of $A_\infty$-structures

Alexander Polishchuk|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고도 $g$의 곡선과 $n \geq g$개의 표본점, 비특수적이고 앰플리터리인 분할($\mathcal{O}_C(D)$)과 함께 접선 벡터를 갖춘 경우의 모듈리 스택과 그라스만이안 $G(n-g,n)$ 위의 상대적 $A_\infty$-구조 모듈리 공간 사이의 이somorphism을 수립한다. 이로써 첫 번째 모듈리 스택이 약한 특성 조건 하에서 $G(n-g,n)$에 대한 아핀 스킴임을 보이며, 핵심 결과는 Krichever 사상과 변형 이론을 통해 곡선의 모듈리와 $A_\infty$-변형이 어떻게 연결되는지를 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper for each $n\ge g\ge 0$ we consider the moduli stack $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ of curves $(C,p_1,\ldots,p_n,v_1,\ldots,v_n)$ of arithmetic genus $g$ with $n$ smooth marked points $p_i$ and nonzero tangent vectors $v_i$ at them, such that the divisor $p_1+\ldots+p_n$ is nonspecial (has no $h^1$) and ample. With some mild restrictions on the characteristic we show that it is a scheme, affine over the Grassmannian $G(n-g,n)$. We also construct an isomorphism of $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ with a certain relative moduli of $A_\infty$-structures (up to an equivalence) over a family of graded associative algebras parametrized by $G(n-g,n)$.

연구 동기 및 목표

• 비특수적이고 앰플리터리인 분할을 갖춘 곡선에 대해 $n = g$에서 $n \geq g$로 $A_\infty$-구조 대응을 일반화하는 것.
• 지정된 특성 조건 하에서, 표본점과 접선 벡터를 갖춘 곡선의 모듈리 스택 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$가 그라스만이안 $G(n-g,n)$에 대한 아phin 스킴임을 보이는 것.
• Krichever 사상과 변형 이론을 사용하여 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$와 그라스만이안 $G(n-g,n)$ 위의 상대적 $A_\infty$-구조 모듈리 공간 사이의 이somorphism을 구성하는 것.

제안 방법

• 비특수적이고 앰플리터리인 분할 $p_1 + \cdots + p_n$을 갖는 고도 $g$의 곡선과 0이 아닌 접선 벡터를 갖는 경우의 모듈리 스택 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$를 정의한다.
• 각 곡선에 대해 $H^0(C, \mathcal{O}_C(D)/\mathcal{O}_C) \to H^1(C, \mathcal{O}_C)$의 핵을 할당함으로써 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$의 사상 $\pi$를 구성한다. 이는 접선 벡터를 통해 자명화된다.
• Sato 그라스만이안의 부분집합인 $ASG^{ns}$와 형식적 변수 변화의 군 $\mathfrak{G}$를 고려하여 Krichever 사상으로 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$를 몫 $ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$로 식별한다.
• 변형 이론과 접선 공간 분석을 통해, $G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus \mathcal{O}_{p_i}$에 대한 Ext 대수 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$로 정의된 $G(n-g,n)$ 위의 상대적 $A_\infty$-구조 모듈리가 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$와 이somorphic 임을 보인다.
• 완비화와 국소 이somorphism 기준을 사용하여, 사상 $\pi$가 유한 유형의 아phin 사상이며, $A_\infty$-구조의 변형 함수들이 곡선 모듈리의 것과 스크린임을 증명한다.
• 기저에 따라 $g$, $n$, 특성 제약 조건에 따라 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$, $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$, 또는 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$에서 이somorphism을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비특수적이고 앰플리터리인 분할을 갖는 $n \geq g$개의 표본점이 있는 곡선의 모듈리 스택 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$는 스킴인가? 그리고 그라스만이안 $G(n-g,n)$에 대한 아phin 스킴인가?
• RQ2 Krichever 사상과 변형 이론을 통해 이러한 곡선의 모듈리가 그라스만이안 $G(n-g,n)$ 위의 상대적 $A_\infty$-구조 모듈리 공간과 식별될 수 있는가?
• RQ3 $\mathfrak{G}$의 형식적 변수 변화 군의 Sato 그라스만이안 $ASG^{ns}$ 위의 작용은 자유 작용인가? 그리고 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$에서 몫이 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$와 이somorphic인가?
• RQ4 어떤 특성 조건 하에서 사상 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$는 유한 유형의 아phin 사상이며, 상대적 $A_\infty$-모듈리가 곡선 모듈리와 이somorphic인가?
• RQ5 $n \geq g+2$일 때, $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$에서 곡선 모듈리와 상대적 $A_\infty$-모듈리 사이의 이somorphism을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 기저가 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$일 때 $n \geq g \geq 1$, $n \geq 2$이거나, $n = g = 1$일 때 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$이거나, $g = 0$, $n \geq 2$일 때 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$이면, 모듈리 스택 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$는 그라스만이안 $G(n-g,n)$에 대한 아phin 스킴으로서 이somorphic이다.
• $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$에서 Krichever 사상은 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \simeq ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$의 이somorphism을 유도한다. 여기서 $ASG^{ns}$는 특정 차원과 교차 조건을 갖는 부분대수를 매개하는 Sato 그라스만이안의 열린 부분집합이다.
• 사상 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$는 유한 유형의 아phin 사상이며, 각 표준 열린 셀 $U_S \subset G(n-g,n)$에 대한 상호역은 $|S| = g$인 경우의 모듈리 스킴 $\widetilde{\mathcal{U}}_{g,n}({\bf a}_S)$와 대응한다. 여기서 $\mathbf{a}_S$는 $S$의 위치에 1이 있는 벡터이다.
• Ext 대수 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$를 통해 정의된 $G(n-g,n)$ 위의 상대적 $A_\infty$-구조 모듈리 공간은 $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$와 이somorphic이며, 이 이somorphism은 ${\mathbb{G}}_m^n$-작용과 호환된다.
• A_\infty-구조의 변형 함수들은 스크린이며, 곡선 모듈리의 것과 이somorphic이다. 사상 $\operatorname{Def}(C_W) \to \widetilde{\operatorname{Def}}(E_W)$는 에탈이므로, 이는 이소모피즘을 뜻하며 상대적 모듈리가 형식적으로 스크린임을 의미한다.
• $n \geq g+2$일 때, $G(n-g,n)$의 좌표 초평면의 여집합인 열린 부분집합 $U \subset G(n-g,n)$에서 $\pi^{-1}(U)$와 상대적 $A_\infty$-모듈리 사이의 이somorphism은 변형 이론과 완비화 추론에 기반하여 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$에서도 성립할 것으로 예상된다.