[논문 리뷰] Moduli of $p$-adic representations of a profinite group

Jorge António|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 완비인 스킴 $X$에 대해, 에탈 기본군 $\pi_1^{ ext{ét}}(X)$의 연속적인 $p$-진 표현을 매개변수화하는 $Π$-해석적 스택 $ρ\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$를 구축한다. 이 스택이 유일한 유도된 강화를 갖는다는 것을 증명하며, 그 변형 이론이 고정 표현의 에탈 코hom올로지에 의해 실현됨을 보여, 델리뉴의 $p$-진 국소계의 모듈리에 관한 추측을 완성한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth and proper scheme over an algebraically closed field. The purpose of the current text is twofold. First, we construct the moduli stack parametrizing rank $n$ continuous $p$-adic representations of the étale fundamental group $π_1^ extrm{ét}(X)$. Our construction realizes such object as a $\mathbb{Q}_p$-analytic stack, denoted $\mathrm{LocSys}_{p,n } (X)$. Secondly, we prove that $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ admits a canonical derived structure. This derived structure allow us to intrinsically recover the deformation theory of continuous $p$-adic representations, studied in [GV18]. Our proof of geometricity of $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$ uses in an essential way the $\mathbb{Q}_p$-analytic analogue of Lurie-Artin representability, proved in [PY17].

연구 동기 및 목표

• 연속적인 $p$-진 표현의 전역 모듈리 공간을 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$에 대해 구축함으로써 델리뉴의 추측을 실현하는 것.
• 이 모듈리 공간에 자연스러운 유도된 구조를 부여하여 그 변형 이론을 내재적으로 제어할 수 있도록 하는 것.
• 프로-에탈 국소계를 이용하여, 이 모듈리 스택을 $\mathbb{Q}_p$-해석적 몫스택으로서 표현하는 것.
• 모듈리 스택의 코탄제ント 복합체와 고정 표현의 에탈 코호몰로지 사이의 정밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• $p$-진 국소계를 정의역으로 하는 매끄럽고 완비인 스킴에서의 기하학적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 모듈리 함수 $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$를 $A \in \mathrm{Afd}_{\mathbb{Q}_p}$에 대해 $A \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1^{\text{ét}}(X), \mathrm{GL}_n(A))$의 점 함수로 하여 $\mathbb{Q}_p$-해석적 스택으로 구성한다.
• $\mathbb{Q}_p$-해석적 버전의 루리-아르틴 표현 가능성 이론을 적용하여 $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$가 $\mathbb{Q}_p$-해석적 공간에 의해 표현된다는 것을 증명한다.
• $\mathrm{GL}_n(A)$의 인프로-구조를 이용하여, 이 모듈리 스택이 $\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-연환 작용에 의한 몫으로서 표현됨을 규명한다.
• [BS13]의 결과를 적용하여, 점들의 가중치가 $n$인 프로-에탈 $A$-국소계의 가중치를 확보함으로써 기하학적 일관성을 보장한다.
• $\infty$-카테고리의 유도된 $\mathbb{Q}_p$-아핀로이드 공간에서의 유도된 강화 $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$를 구성한다.
• 유도된 모듈리 스택의 코탄제ント 복합체를 $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))^\vee[-1]$로 규명하여, 에탈 코호몰로지와의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 $p$-진 표현의 전역 모듈리 스택을 $\mathbb{Q}_p$-해석적 설정에서 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$에 대해 구축할 수 있는가?
• RQ2 이 모듈리 스택이 그 변형 이론을 포괄하는 자연스러운 유도된 강화를 갖는가?
• RQ3 $p$-진 표현의 변형 이론은 고정 표현의 에탈 코호몰로지와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 이 모듈리 스택은 어떤 군 작용 하에서 $\mathbb{Q}_p$-해석적 공간의 몫으로서 표현될 수 있는가?
• RQ5 유도된 모듈리 스택은 코hesives와 nilcomplete성을 갖는가로 좋은 기하학적 성질을 보장하는가?

주요 결과

• $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$는 $\mathbb{Q}_p$-해석적 스택으로 표현 가능하며, 매끄러운 아틀라스 $\mathrm{LocSys}_{p,n}^\square(X)$를 통해 $\mathbf{GL}_n^{\mathrm{an}}$-연환 작용에 의한 몫으로 표현된다.
• 유도된 강화 $\mathrm{R}\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$는 존재하며, 코hesiveness와 nilcompleteness를 갖추어 강력한 기하학적 성질을 보장한다.
• 점 $\rho$에서의 코탄제ント 복합체는 자연스럽게 에탈 코호몰로지 $C^*_{\text{ét}}(X, \mathrm{Ad}(\rho))[-1]$의 쌍대와 동형이며, 코hom올로지 기반의 변형 이론과의 정밀한 연결 고리를 확립한다.
• $\mathrm{LocSys}_{p,n}(X)$의 점들에 대응하는 가중치는 정확히 $X$ 위의 랭크 $n$의 프로-에탈 $A$-국소계로, 기하학적 자연스러움을 확인한다.
• 이 구축은 매끄럽고 완비인 스킴 위의 $p$-진 에탈 국소계에 대한 모듈리 공간의 존재를 보장하는 델리뉴의 추측을 실현한다.
• $p$-진 표현의 변형 이론은 유도된 구조를 통해 내재적으로 복원되며, [GV18]의 결과를 기하학적 프레임워크에서 일반화한다.