[논문 리뷰] Moduli of parabolic connections on a curve and Riemann-Hilbert correspondence

Michi-aki Inaba|arXiv (Cornell University)|2006. 02. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 국소 단일화군의 주어진 국소 모노드로미 데이터를 가진 기본군의 표현 모듈리 공간으로의 파라보릭 접속 모듈리 공간으로의 리만-힐베르트 대응이 올바르고, 전사적이며, 이중형형사상임을 증명한다. 주요 결과는 이중형형사상의 성질과 모듈리 공간 위의 분할 구조를 통해 등온단일화 변형에 대한 기하학적 편평성 성질을 확인한다.

ABSTRACT

Let $(C,\bt)$ ($\bt=(t_1,...,t_n)$) be an $n$-pointed smooth projective curve of genus $g$ and take an element $\blambda=(λ^{(i)}_j)\in\C^{nr}$ such that $-\sum_{i,j}λ^{(i)}_j=d\in\mathbf{Z}$. For a weight $\balpha$, let $M_C^{\balpha}(\bt,\blambda)$ be the moduli space of $\balpha$-stable $(\bt,\blambda)$-parabolic connections on $C$ and let $RP_r(C,\bt)_{\ba}$ be the moduli space of representations of the fundamental group $π_1(C\setminus\{t_1,...,t_n\},*)$ with the local monodromy data $\ba$ for a certain $\ba\in\C^{nr}$. Then we prove that the morphism $\RH:M_C^{\balpha}(\bt,\blambda) ightarrow RP_r(C,\bt)_{\ba}$ determined by the Riemann-Hilbert correspondence is a proper surjective bimeromorphic morphism. As a corollary, we prove the geometric Painlevé property of the isomonodromic deformation defined on the moduli space of parabolic connections.

연구 동기 및 목표

• 구멍이 난 곡선 위의 파라보릭 접속 모듈리 공간과 기본군의 표현 모듈리 공간 사이의 기하학적 대응을 수립하는 것.
• 이 두 모듈리 공간 사이의 리만-힐베르트 사상이 올바르고, 전사적이며, 이중형임을 증명하는 것.
• 모듈리 공간의 구조와 그 위의 분할 구조를 이용하여 등온단일화 변형에 대한 기하학적 편평성 성질을 보여주는 것.

제안 방법

• 매끄럽고 사영적인 곡선 $ C $ 위에 $ n $개의 표시된 점이 있는 경우, $ \alpha $-안정인 $ (\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $-파라보릭 접속의 모듈리 공간 $ M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $ 를 구성한다.
• $ \pi_1(C \setminus \{t_1, \dots, t_n\}, *) $의 표현으로서, 고정된 국소 모노드로미 데이터 $ \alpha $ 를 가진 모듈리 공간 $ RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ 를 정의한다.
• 리만-힐베르트 대응을 사용하여 사상 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ 를 정의하고, 이것이 이중형임을 보인다.
• 사상에 의한 상대 접속다발의 역상 분석을 통해 파라보릭 접속 모듈리 공간 위에 분할 $ \mathcal{F}_M $ 를 정의한다.
• $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ 에 의한 $ \mathcal{F}_M $ 의 상이 표현 모듈리 공간 위의 분할 $ \mathcal{F}_R $ 와 일치함을 보인다.
• 올바름성과 컴act성에 기반한 경로 올림 기법을 적용하여 수평적 올림이 존재함을 보이고, 이는 기하학적 편평성 성질을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라보릭 접속 모듈리 공간과 표현 모듈리 공간 사이의 리만-힐베르트 대응은 올바르고, 전사적이며, 이중형인 사상인가?
• RQ2 파라보릭 접속 모듈리 공간 위의 분할 구조가 리만-힐베르트 사상에 의해 표현 모듈리 공간 위의 분할 구조와 대응되는가?
• RQ3 이중형 성질을 가진 리만-힐베르트 대응을 통해 등온단일화 변형의 기하학적 편평성 성질을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 리만-힐베르트 사상 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ 는 올바르고, 전사적이며, 이중형 사상이다.
• 리만-힐베르트 사상에 의한 상대 접속다발의 역상은 파라보릭 접속 모듈리 공간 위에 분할 $ \mathcal{F}_M $ 을 정의한다.
• $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ 에 의한 $ \mathcal{F}_M $ 의 상은 표현 모듈리 공간 위의 분할 $ \mathcal{F}_R $ 과 일치한다.
• 파라보릭 접속 모듈리 공간 내에서 경로의 수평적 올림이 존재함을 확인함으로써, 등온단일화 변형에 대한 기하학적 편평성 성질이 확인된다.
• 건설 과정은 기저 공간의 임의의 경로가 국소적으로 분할의 잎으로 올려질 수 있으며, 올바름성과 컴act성 덕분에 이 올림이 전체 경로로 연장됨을 보장한다.