[논문 리뷰] Moduli of stable maps with fields

Renata Picciotto|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영인 다양체 X, 벡터(bundle) E, 그리고 정칙 절단 s로 이루어진 삼중체 (X, E, s)에 대해 안정적 매핑과 필드를 갖는 모듈리 공간을 소개한다. 이는 s의 영점의 영역에 대한 안정적 매핑의 가상 기본 클래스와 일치하는 코세그먼트 국소화 가상 클래스를 구축하며, 양자 레프슈체츠 초평면 원리의 일반화이자, 코arse 모듈리 공간이 사영인 델리-무어포드 스택으로의 왜곡된 안정적 매핑으로의 확장이다.

ABSTRACT

Given a triple (𝑋,𝘌,𝘴) of a smooth projective variety, a rank 𝘳 vector bundle and a regular section, we construct a moduli of stable maps to 𝑋 with fields together with a cosection localized virtual class. We show the class coincides up to a sign with the virtual fundamental class on the moduli space of stable maps to the vanishing locus 𝘡 of 𝘴. We show that this gives a generalization of the Quantum Lefschetz hyperplane principle, which relates the virtual classes of the moduli of stable maps to 𝑋 and that of the moduli of stable maps to 𝘡 if the bundle 𝘌 is convex. We further generalize this result by considering (𝒳,ɛ,s) where 𝒳is a smooth Deligne--Mumford stack with projective coarse moduli space. In this setting, we can construct a moduli space of twisted stable maps to 𝒳with fields. This moduli space will have (possibly disconnected) components of constant virtual dimension indexed by 𝓃-tuples of components of the inertia stack of 𝒳. We show that its cosection localized virtual class on each component agrees up to a sign with the virtual fundamental class of a corresponding component of the moduli of twisted stable maps to ƶ=s=0. This generalizes similar comparison results of Chang--Li, Kim--Oh and Chang--Li and presents a different approach from Chen--Janda--Webb.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영인 다양체 X와 벡터 번들 E, 정칙 절단 s를 갖춘 경우, 안정적 매핑과 필드를 위한 모듈리 공간을 구축하는 것.
• 이 모듈리 공간 위에서, s의 영점의 영역 Z = s⁻¹(0)에 대한 안정적 매핑의 가상 기본 클래스와 관련된 코세그먼트 국소화 가상 클래스를 정의하는 것.
• 특히 E가 볼록일 경우, 안정적 매핑과 필드의 설정으로 양자 레프슈체츠 초평면 원리를 일반화하는 것.
• 코arse 모듈리 공간이 사영인 매끄러운 델리-무어포드 스택 𝒳에 대해, 왜곡된 안정적 매핑과 필드로의 구성으로의 확장.
• 각 모듈리 공간의 성분에서, 코세그먼트 국소화 가상 클래스가 Z로의 왜곡된 안정적 매핑의 모듈리 공간의 해당 성분의 가상 기본 클래스와 부호를 제외하고 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 벡터 번들 E의 절단 s의 정보를 코딩하기 위한 보조 '필드'를 갖춘 X로의 안정적 매핑의 모듈리 공간을 구축하는 것.
• 정칙 절단 s에 의해 유도된 고장층의 코세그먼트를 이용하여 국소화된 가상 기본 클래스를 정의하는 것.
• 코세그먼트 국소화 기법을 적용하여, 필드를 갖는 모듈리 공간의 가상 클래스와 영점의 영역 Z = s⁻¹(0)에 대한 가상 기본 클래스를 연결하는 것.
• 왜곡된 안정적 매핑과 관계된 인ertia 스택 성분의 튜플로 인덱싱된 성분들을 고려하여, 델리-무어포드 스택으로의 구성 일반화.
• 인ertia 스택의 구조를 이용하여, 가상 차원이 일정한 성분들로 모듈리 공간을 분해하는 것.
• 각 성분에서, 코세그먼트 국소화 가상 클래스가 Z = s⁻¹(0)로의 왜곡된 안정적 매핑의 모듈리 공간의 해당 성분의 가상 기본 클래스와 부호를 제외하고 일치함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 번들 E의 정칙 절단 s를 갖는 다양체 X로의 안정적 매핑의 모듈리 공간에 대해, 보조 필드를 이용하여 가상 기본 클래스를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 필드를 갖는 모듈리 공간의 코세그먼트 국소화 가상 클래스는 Z = s⁻¹(0)로의 안정적 매핑의 모듈리 공간의 가상 기본 클래스와 어떤 방식으로 관련이 있는가?
• RQ3 E가 볼록일 경우, 안정적 매핑과 필드의 설정으로 양자 레프슈체츠 초평면 원리를 일반화할 수 있는가?
• RQ4 코arse 모듈리 공간이 사영인 매끄러운 델리-무어포드 스택 𝒳과 벡터 번들 ɛ의 절단 s가 주어진 경우, 구성은 어떻게 확장되는가?
• RQ5 왜곡된 안정적 매핑과 필드의 모듈리 공간의 성분들과, Z로의 왜곡된 안정적 매핑의 모듈리 공간의 해당 성분들 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 필드를 갖는 안정적 매핑의 모듈리 공간에서의 코세그먼트 국소화 가상 클래스는 Z = s⁻¹(0)로의 안정적 매핑의 모듈리 공간의 가상 기본 클래스와 부호를 제외하고 일치한다.
• 구성은 특히 벡터 번들 E가 볼록일 경우, 안정적 매핑과 필드의 설정으로 양자 레프슈체츠 초평면 원리를 일반화한다.
• 코arse 모듈리 공간이 사영인 매끄러운 델리-무어포드 스택 𝒳에 대해, 왜곡된 안정적 매핑과 필드의 모듈리 공간은 𝒳의 인ertia 스택 성분들의 n-튜플로 인덱싱된 가상 차원이 일정한 성분들을 갖는다.
• 각 성분에서, 코세그먼트 국소화 가상 클래스는 Z = s⁻¹(0)로의 왜곡된 안정적 매핑의 모듈리 공간의 해당 성분의 가상 기본 클래스와 부호를 제외하고 일치한다.
• 이 접근법은 체인-잔다-웹의 프레임워크와는 다름없는, 구조적 가상 클래스 비교를 위한 새로운 방법을 제공한다.
• 결과는 필드와 스택 기반 기하학의 맥락에서, 창-리, 김-오, 창-리의 이전 비교 정리들을 확장하고 통합한다.