[논문 리뷰] Moduli spaces for families of rational maps on P^1

Michelle Manes|ArXiv.org|2009. 02. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ^1$ 위의 degree-$d$ 유리 함수를 $\mathrm{PGL}_2$-동치 관계로 묶어 형식적 주기 $N$을 가진 점을 갖는 모듈리 공간 $M_d(N)$을 구성한다. $N > 1$일 때 $M_2(N)$가 기하학적으로 기약임을 증명하기 위해 명시적 정규형과 다이나토믹 다항식의 기약성에 기반한다. 그러나 비자명한 $ \mathrm{PGL}_2$-자기동형사상이 존재하는 경우, 무한히 많은 $N$에 대해 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$가 기하학적으로 기약이 아니며, 자동형사상 작용에 의한 궤도 구조를 통해 기하학적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

Let phi: P^1 --> P^1 be a rational map defined over a field K. We construct the moduli space M_d(N) parameterizing conjugacy classes of degree-d maps with a point of formal period N and present an algebraic proof that M_2(N) is geometrically irreducible for N>1. Restricting ourselves to maps phi of arbitrary degree d >= 2 such that the composition h^{-1} phi h = phi for some nontrivial h in PGL_2, we show that the moduli space parameterizing these maps with a point of formal period N is geometrically reducible for infinitely many N.

연구 동기 및 목표

• degree-$d$ 유리 함수의 $\mathrm{PGL}_2$-동치류 중 형식적 주기 $N$을 갖는 점을 가진 것을 매개변수화하는 모듈리 공간 $M_d(N)$을 구성하고 연구하는 것.
• 다이나토믹 다항식의 기약성과 명시적 정규형을 활용하여 모든 $N > 1$에 대해 $M_2(N)$의 기하학적 기약성을 증명하는 것.
• 비자명한 자동형사상이 존재하는 함수의 경우, 특히 $M_d(N,\mathfrak{C}_p)$의 기하학적 구조를 조사하고 기약성이 깨지는 조건을 규명하는 것.
• 자기동형사상에 의한 궤도 작용과 관련하여 다이나토믹 다항식의 기약성 상실 현상에 기하학적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 대수기하학과 불변량 이론을 활용하여, 형식적 주기 $N$을 갖는 degree-$d$ 유리 함수의 $\mathrm{PGL}_2$-동치류를 매개변수화하는 방식으로 $M_d(N)$을 구성하는 것.
• 이차 유리 함수 $\psi(z) = \frac{z^2 + az}{az + 1}$에 대한 정규형을 사용하여 $M_2$를 명시적으로 기술하고, 반복과 다항식 매개변수화를 가능하게 하는 것.
• Morton의 결과에 기반하여 $f_c(z) = z^2 + c$에 대한 다이나토믹 다항식의 기약성을 이용하여 $M_2(N)$의 기약성을 증명하는 것.
• 자기동형사상 $h \in \mathrm{PGL}_2(\overline{K})$가 주기적 점의 궤도를 유지하는지 또는 교환하는지에 따라 경우를 나누어 분석하는 것.
• 기하학적 기약성을 증명하기 위해 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$의 최대 차원을 갖는 적절한 닫힌 부분다양체를 구성하여, 자동형사상 작용에 따른 궤도 행동에 따라 모듈리 공간이 성분으로 분리됨을 보이는 것.
• 특수화 및 다이나토믹 다항식의 성질을 이용하여, 특성 0인 체에서는 모든 유한한 $N$ 이외의 모든 $N$에 대해, 일반 체에서는 모든 유한한 소수 $N$ 이외의 모든 $N$에 대해 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$가 기하학적으로 기약이 아니라고 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $N > 1$에 대해 모듈리 공간 $M_2(N)$는 기하학적으로 기약인가?
• RQ2 소수 $p$의 비자명한 순서의 자동형사상이 존재하는 함수에 대해, 모듈리 공간 $M_d(N,\mathfrak{C}_p)$의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ3 형식적 주기가 짝수인 경우, 비자명한 자동형사상이 존재하는 함수에서는 왜 다이나토믹 다항식이 기약성이 깨지는가? 이는 해당 모듈리 공간의 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 자기동형사상이 주기 궤도에 작용함으로써 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$의 기약성이 기하학적으로 설명될 수 있는가?
• RQ5 자기동형사상의 존재는 동적 모듈라 곡선에서 일반적인 기약성의 체계적 실패를 초래하는가?

주요 결과

• 모든 $N > 1$에 대해 모듈리 공간 $M_2(N)$는 기하학적으로 기약이며, 이는 명시적 정규형과 $f_c(z) = z^2 + c$에 대한 다이나토믹 다항식의 기약성에 기반한다.
• 특성 0인 체 $K$에서 비자명한 $ \mathrm{PGL}_2$-자기동형사상이 소수 순서 $p$를 갖는 함수에 대해, 모든 유한한 $N$ 이외의 모든 정수 $N$에 대해 모듈리 공간 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$는 기하학적으로 기약이 아니다.
• 기약성 상실은 자동형사상의 작용에서 기인한다: $h$의 순서가 $N$을 나누면, 형식적 주기 $N$을 갖는 점의 궤도를 유지하거나 서로 교환하며, 이는 최소한 두 개의 기약 성분을 유도한다.
• 이 구성은 $M_d(pN,\mathfrak{C}_p)$ 내에 최대 차원의 적절한 닫힌 부분다양체를 제공하여, 특수한 경우에 의존하지 않고 기하학적 기약성을 증명한다.
• 이전 연구와 대조적으로, 이전의 예에서는 각도마다 한 개의 함수에서만 기약성이 깨졌지만, 여기서는 모든 $d \geq 2$의 차수에서 기약성이 깨지는 함수의 가족이 존재하며, 무한히 많은 $N$에 대해 기약성이 깨진다.
• 만일 $2^N - 1$이 소수이면, $M_2(N,\mathfrak{C}_2)$는 기하학적으로 기약이며, 이는 다이나토믹 다항식을 특수화하고 $φ(z) = z^2$에 대해 $Φ_N^*(z)$의 기약성을 이용하여 보여진다.