[논문 리뷰] Moduli spaces of curves with linear series and the slope conjecture

Deepak Khosla|ArXiv.org|2006. 08. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 선형 계열을 가진 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{G}^r_d$ 를 연구하고 $\widetilde{\mathcal{M}}_g$ 로의 자연스러운 사상에 의한 교차류의 투영을 계산하여 해리스-모리슨 기울기 추측에 대한 새로운 반례를 구성한다. $g=21$, $r=6$, $d=24$ 일 때, 쌍곡면 위에 놓인 곡선의 계열은 기울기가 7인 교차류를 이룬다. 이는 추측된 $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$ 보다 작으며, 따라서 기울기 추측을 위반한다. 브릴-노에르 수 $\rho = 0$ 일 때 이 구성은 무한한 반례의 가족으로 일반화된다.

ABSTRACT

We describe the moduli space G^r_d of triples consisting of a curve C, a line bundle L on C of degree d, and a linear system V on L of dimension r. This moduli space extends over a partial compactification { ilde M_g} of M_g inside {\bar M_g}. For the proper map h : G^r_d --> ilde M_g, we compute the push-forward on Chow 1-cocyles in the case where h has relative dimension zero. As a consequence we obtain another counterexample to the Harris-Morrison slope conjecture as well as an infinite sequence of potential counterexamples.

연구 동기 및 목표

• 선형 계열을 가진 곡선에서 유래하는 효과적 교차류를 연구함으로써 $\mathcal{M}_g$ 의 벨리에이션 기하학을 조사하는 것.
• 선형 계열의 모듈리 공간 $\mathcal{G}^r_d$ 상의 교차류의 투영을 $\widetilde{\mathcal{M}}_g$ 로 계산하는 것.
• 작은 기울기를 가진 새로운 교차류 클래스를 구성함으로써 해리스-모리슨 기울기 추측을 시험하는 것.
• 브릴-노에르 수 $\rho = 0$ 일 때 이 구성이 무한한 가족의 잠재적 반례로 일반화되는가를 조사하는 것.

제안 방법

• 곡선 $C$, degree $d$ 의 선다발 $L$, 차원 $r+1$ 의 선형계 $V \subset H^0(L)$ 로 이루어진 삼중체 $(C, L, V)$ 를 매개변수화하는 모듈리 공간 $\mathcal{G}^r_d$ 를 정의한다.
• $\widetilde{\mathcal{M}}_g \subset \overline{\mathcal{M}}_g$ 의 부분 컴actsification 위로 $\mathcal{G}^r_d$ 를 확장하여 안정 곡선을 포함한다.
• $\operatorname{Sym}^k V \to H^0(L^k)$ 가 핵을 지닌 위치 $\widetilde{D} \subset \mathcal{G}^r_d$ 를 연구한다. 이는 $k$ 차 초곡면 위에 놓인 곡선에 대응한다.
• 상대적 차원 0 조건을 이용하여 $\mathcal{G}^r_d$ 상의 교차론에서의 교차 이론을 통해 $\eta_*[\widetilde{D}]$ 의 투영을 계산한다.
• 주요 결과를 $g=21$, $r=6$, $d=24$, $k=2$ 의 경우에 적용하여, 교차류 $D^{6,2}_{24,21}$ 의 계열을 계산한다.
• 블로우업된 $\mathbb{P}^2$ 상의 선형계에서 매끄러운 곡선의 존재를 확인함으로써 교차류가 효과적이고 교차류적임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 21차 곡선에서 $\mathfrak{g}^6_{24}$-임bedding 하에 쌍곡면 위에 놓인 곡선의 계열은 $\mathcal{M}_{21}$ 에서 교차류를 이룬다.
• RQ2 이 교차류의 계열은 $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{21}) \otimes \mathbb{Q}$ 에서 무엇인가?
• RQ3 이 교차류의 기울기가 해리스-모리슨 추측된 기준값인 $6 + \frac{12}{22}$ 보다 작은가?
• RQ4 이 구성은 $\rho = 0$ 과 $k=2$ 인 무한한 곡선의 가족으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 계열은 항상 교차류적이고, 모두 기울기 추측의 반례를 제공하는가?

주요 결과

• 교차류 $D^{6,2}_{24,21}$ 는 교차류적이고 기울기가 7이며, 해리스-모리슨 추측된 기준값인 $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$ 보다 작다. 따라서 새로운 반례를 제공한다.
• $\mathcal{G}^6_{24}$ 상의 교차류 계열의 투영은 주요 정리에 의해 명시적으로 계산되었으며, $7\lambda - \delta_0 - 5\delta_1 - \cdots$ 와 비례하는 계열을 얻는다.
• $(g,r,d) = (m(2m+1), 2m, 2m(m+1))$ 의 무한한 가족에 대해 브릴-노에르 수 $\rho = 0$ 이고, 쌍곡면 위에 놓이는 것은 하나의 조건을 부과한다.
• 모든 $m$ 에 대해 해당하는 $D^{r,k}_{d,g}$ 계열이 교차류적이라면, 모두 해리스-모리슨 기울기 추측의 반례가 된다.
• 21개의 일반적인 점에서 블로우업된 $\mathbb{P}^2$ 상의 선형계 $|13H - 2\sum_{j=1}^9 E_j - 3\sum_{k=10}^{21} E_k|$ 에서 매끄러운 연결 곡선이 존재함을 확인하여, 필요한 곡선의 존재를 확인한다.
• $\mathcal{G}^6_{24}$ 는 기하학적으로 일관된 구성에 기반하여 기하학적으로 기하학적으로 연결되어 있음을 지지한다.